מספר ראשוני רגולרי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

בתורת המספרים, מספר ראשוני רגולרי הוא מספר ראשוני אי-זוגי, המקיים תכונה מסוימת, שתוצג בהמשך. את המושג הציע ארנסט קומר, שגם הוכיח בשנת 1847 את המשפט האחרון של פרמה עבור ראשוניים כאלה.

עד 100, הראשוניים היחידים שאינם רגולריים הם $\ 37, 59, 67$ . משערים ש- $e^{-\frac{1}{2}} \approx 60.65\,\%$ מן הראשוניים הם רגולריים, אבל (נכון ל-2005) לא ידוע אפילו האם ישנם אינסוף כאלה. ב-1915 הוכיח יוהן ינסן שיש אינסוף ראשוניים שאינם רגולריים.

[עריכה] ההגדרה

עבור מספר טבעי $\ n$ , שורש יחידה מסדר $\ n$ הוא מספר מרוכב $\ \rho_n$ שכאשר מעלים אותו בחזקת n (אבל לא בחזקה קטנה יותר) מתקבל 1. לדוגמה, $\ \frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ הוא שורש היחידה מסדר 3, ו- $\ i=\sqrt{-1}$ הוא שורש יחידה מסדר 4.

'החוג הציקלוטומי' $\ \mathbb{Z}[\rho_n]$ הוא, על-פי ההגדרה, החוג הקטן ביותר המכיל את המספרים השלמים ואת שורשי היחידה מסדר n. (זהו חוג השלמים של השדה הציקלוטומי מסדר n). נזכיר שבחוג קומוטטיבי R, כל קבוצה הסגורה לחיבור וחיסור ולכפל באברי החוג נקראת אידאל, בעוד שאידאלים מן הצורה המיוחדת $\ Ra = \{ra : r \in R\}$ הם 'אידאלים ראשיים'. חוג שבו כל האידאלים ראשיים, נקרא תחום ראשי - אלא שבדרך כלל החוג הציקלוטומי אינו כזה.

הגדרה. הראשוני $\ p$ הוא ראשוני רגולרי אם לכל אידאל $\ I$ של $\ \mathbb{Z}[\rho_n]$ , מן ההנחה ש- $\ I^p$ הוא אידאל ראשי נובע שגם $\ I$ עצמו הוא ראשי.

במלים אחרות, מספר ראשוני הוא רגולרי אם הוא אינו מחלק את סדר חבורת המחלקות של השדה הציקלוטומי המתאים.

[עריכה] הקשר למשפט פרמה

ב- 1753 הוכיח לאונרד אוילר את משפט פרמה עבור החזקה $\ p=3$ : אין פתרונות שלמים למשוואה $\ x^3+y^3=z^3$ , פרט לפתרונות הצפויים, שבהם אחד המשתנים שווה לאפס. ב-1770 הגדיר אוילר את החוג $\ \mathbb{Z}[\rho_3]$ , והשתמש בתכונות שלו כדי לתת הוכחה נוספת לאותה טענה. הרעיון הבסיסי בהוכחה זו היה הפירוק של הביטוי $\ x^3+y^3$ למכפלה $\ (x+y)(x+\rho_3y)(x+\rho_3^2y)$ , שבו הגורמים אינם עוד מספרים שלמים, אלא איברים של החוג הציקלוטומי. במקרה $\ p=3$ החוג הזה מקיים דרישות אריתמטיות חזקות מאוד (זהו חוג אוקלידי, ובפרט חוג ראשי), וכך יכול היה אוילר להסיק שאם המכפלה שווה לחזקה שלישית $\ z^3$ , כך צריך להיות כל אחד מן הגורמים (עד כדי כפל באיברים הפיכים של החוג).

בשיטה זו הוכיחו את משפט פרמה גם עבור החזקות $\ p=5$ ו- $\ p=7$ .

ב-1847 הראה ארנסט קומר שאם $\ u$ הוא איבר הפיך בחוג הציקלוטומי מסדר p, אז $\ u^p$ הוא מספר שלם. הבחנה זו אפשרה לו להכליל את הרעיונות של קודמיו, והוא הראה ששיטת ההוכחה של אוילר שוללת את קיומם של פתרונות שלמים למשוואה $\ x^p+y^p=z^p$ לכל ראשוני אי-זוגי p, ובלבד שהאידאלים בחוג הציקלוטומי מקיימים תכונה מסוימת. לתכונה זו קרא קומר 'רגולריות' של p.

[עריכה] קריטריון לרגולריות

קומר לא הסתפק בהוכחה של משפט פרמה עבור ראשוניים רגולריים - הוא מצא גם תנאי חישובי לרגולריות, מתחום אחר לחלוטין, והוכיח כי ראשוני $\ p\geq 5$ הוא רגולרי אם ורק אם הוא אינו מחלק את המונה של מספרי ברנולי $\ B_2,B_4,B_6,\dots,B_{p-3}$ , המתקבלים מפיתוח טיילור $\ \frac{x}{e^x-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n}{n!}x^n$ .