מספר הרשאד

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

מספר הרשאד (Harshad number), או מספר ניבן (Niven number), הוא מספר שלם אשר מתחלק בסכום ספרותיו, בבסיס ספירה מסוים.

תוכן עניינים

1 דוגמאות
2 אילו מספרים יכולים להיות מספרי הרשאד?
3 מספרי הרשאד עוקבים
4 הערכת הצפיפות של מספרי הרשאד

[עריכה] דוגמאות

כל המספרים בין 0 לבסיס הספירה (דהינו מספרים חד-ספרתיים) הינם מספרי הרשאד.

מספרי הרשאד הראשונים בעלי יותר מספרה אחת, בבסיס ספירה עשרוני, הינם:

10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200, 201, 204

מספר אשר הינו מספר הרשאד בכל בסיס ספירה נקרא מספר כל-הרשאד, או מספר כל-ניבן. ישנם רק ארבעה מספרים כאלה: 1, 2, 4 ו-6.

[עריכה] אילו מספרים יכולים להיות מספרי הרשאד?

בהינתן מבחן ההתחלקות של המספר 9, עולה סברה אינטואיטיבית מיידית על כך שכל המספרים המתחלקים ב-9 הינם מספרי הרשאד. אולם בכדי לבדוק אם מספר הוא הרשאד, ספרות המספר מחוברות פעם אחת והמספר חייב להתחלק בסכום זה, אחרת הוא אינו הרשאד. לדוגמה: המספר 99 אמנם מתחלק ב9, אך אינו מתחלק בסכום ספרותיו 18 (שכן זהו מספר זוגי ואילו 99 מספר אי-זוגי).

כמובן, מספר הבסיס יהיה תמיד מספר הרשאד בבסיסו שלו, כיוון שהוא תמיד ייכתב כ-"10", והוא מתחלק ב 0 + 1 = 1.

כדי שמספר ראשוני יהיה הרשאד, הוא חייב להיות קטן יותר ממספר הבסיס (כלומר, מספר חד ספרתי בבסיס) או שווה לו. אחרת, סכום ספרותיו יהיה מספר השונה מ-1, אך קטן מהמספר הראשוני, שהוא כמובן לא מתחלק בשום מספר הקטן ממנו, פרט ל-1.

בבסיס 10, כל מספרי העצרת הינם מספרי הרשאד.

[עריכה] מספרי הרשאד עוקבים

ה.ג. גרונדמן הוכיח בשנת 1994 שבבסיס העשרוני אין 21 מספרים שלמים עוקבים שכולם מספרי הרשאד. כמו כן, הוא מצא את רצף 20 המספרים השלמים הקטנים ביותר שכולם מספרי הרשאד, שהינם מסדר גודל 10⁴⁴.

בבסיס ספירה בינארי, ישנם אינסוף רצפים של 4 מספרי הרשאד עוקבים, כאשר בבסיס ספירה טרינארי, ישנם אינסוף רצפים של 6 מספרי הרשאד עוקבים; שתי עובדות אלה הוכחו על ידי ט. קאי בשנת 1996. בבסיס אונרי, כל המספרים הם מספרי הרשאד.