הרחבה ספרבילית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

באלגברה מופשטת, הרחבה ספרבילית היא הרחבה של שדה שהפולינום המינימלי של כל איבר בה הוא ספרבילי, כלומר כל שורשיו שונים זה מזה. להרחבות ספרביליות חשיבות רבה בתורת גלואה: ספרביליות של הרחבה נורמלית מבטיחה כי גודלה של חבורת הגלואה שלו הוא כמימד ההרחבה.

[עריכה] הגדרה פורמלית

נאמר על פולינום $\ f(x)$ שהוא ספרבילי אם כל שורשיו בשדה הפיצול שלו שונים זה מזה.

אם $\ E/F$ היא הרחבת שדות, נאמר על איבר $\ \theta\in E$ שהוא ספרבילי מעל $\ F$ אם הפולינום המינימלי שלו מעל $\ F$ הוא ספרבילי (בצורה שקולה מספיק לדרוש שהוא שורש של פולינום ספרבילי מעל $\ F$ ).

נאמר על הרחבה $\ E/F$ שהיא ספרבילית אם כל איבר בה הוא ספרבילי מעל $\ F$ .

[עריכה] תכונות

פולינום $\ f(x)$ אינו ספרבילי אם ורק אם המחלק המשותף המקסימלי שלו ושל $\ f'(x)$ - הנגזרת הפורמלית שלו שונה מ-1. מתכונה זו נובע שכל פולינום אי פריק מעל שדה עם מאפיין 0 הוא ספרבילי, ולכן גם כל הרחבה של שדה ממאפיין 0 היא ספרבילית. מכאן שמושג הספרביליות הוא בעל משמעות רק עבור שדות עם מאפיין שונה מאפס.
כל הרחבה ספרבילית סופית היא הרחבה פשוטה. כלומר, אם $\ E/F$ היא הרחבה ספרבילית מממד סופי, אז $\ E=F(\theta)$ עבור $\ \theta\isin E$ מסוים. תכונה זו נקראת משפט האיבר הפרימיטיבי.

מקור: http://he.wikipedia.org../../../%D7%94/%D7%A8/%D7%97/%D7%94%D7%A8%D7%97%D7%91%D7%94_%D7%A1%D7%A4%D7%A8%D7%91%D7%99%D7%9C%D7%99%D7%AA.html

קטגוריה: אלגברה

הרחבה ספרבילית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

[עריכה] הגדרה פורמלית

[עריכה] תכונות

Views

ניווט

קהילה

חיפוש