דיפרנציאביליות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

דיפרנציאביליות במתמטיקה, היא תכונה של פונקציות שפירושה שקיים לפונקציה קירוב לינארי בנקודות שבהן היא דיפרנציאבילית.

כאשר עוסקים בפונקציות של משתנה אחד, מושג הדיפרנציאביליות מתלכד עם מושג הגזירות, אבל בפונקציות של כמה משתנים, אלו הן תכונות שונות, שכן גזירות מוגדרת רק עבור משתנה יחיד - וניתן לראות את תכונת הדיפרנציאביליות כהכללה של תכונת הגזירות לכמה משתנים.

[עריכה] הגדרה פורמלית

תהא $f\left(x_1,\dots,x_n\right)$ פונקציה ב $\!\, n$ משתנים. נגיד שהפונקציה דיפרנציאבילית בנקודה $x^0=\left(x^0_1,\dots,x^0_n\right)$ אם קיימת סביבה של הנקודה כך שלכל $\Delta f=f\left(x^0_1+\Delta x_1,\dots,x^0_n+\Delta x_n\right)$ בה ניתן לכתוב $\Delta f=A_1\cdot\Delta x_1+\dots+A_n\cdot\Delta x_n+\alpha_1\cdot\Delta x_1+\dots+\alpha_n\cdot\Delta x_n$ , כאשר $\!\, A_1,\dots,A_n$ מספרים קבועים, ו- $\!\, \alpha_1,\dots,\alpha_n$ פונקציות השואפות לאפס כאשר $\!\, \Delta x^0$ שואף לאפס.

פירוש ההגדרה הוא כדלהלן: בסביבות הנקודה $\!\, x^0$ אפשר לייצג את הפונקציה שלנו בקירוב טוב בתור פונקציה לינארית ב- $\!\, n$ משתנים, כשהמקדמים הם $\!\, A_1,\dots,A_n$ . זהו "קירוב טוב" כי השאריות (הפונקציות $\!\, \alpha_1,\dots,\alpha_n$ ) קטנות מאוד יחסית לחלק הלינארי של הפונקציה.

[עריכה] משפטים העוסקים בדיפרנציאביליות

תנאים הכרחיים לדיפרנציאביליות:

פונקציה שהיא דיפרנציאבילית בנקודה מסוימת - רציפה בנקודה זו.
לפונקציה שהיא דיפרנציאבילית בנקודה מסוימת - קיימות נגזרות חלקיות בנקודה זו.

יתר על כן, ניתן להראות כי המקדמים $\!\, A_1,\dots,A_n$ בקירוב הלינארי אינם אלא הנגזרות החלקיות של הפונקציה: $\!\, A_k=\frac{\partial f}{\partial x_k}(x^0)$ .