Théorème ergodique
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Dans les systèmes dynamiques, et en particulier en théorie ergodique, de nombreux théorèmes sont appelés théorèmes ergodiques. Ils permettent de quantifier au sens de la théorie de la mesure la densité des orbites d'un système dynamique mesuré.
[modifier] Théorème ergodique de Birkhoff
Soient μ une mesure sur un espace mesurable X, et f:X
X une application mesurable qui préserve la mesure μ. Pour une fonction réelle μ-intégrable g:XR, la suite des moyennes Sng de f, donnée explicitement par :
converge presque sûrement vers une application (mesurable) f-invariante h ; cette limite presque sure est μ-intégrable, et
.
- Lorsque la mesure μ est finie, la suite Sng converge vers h dans l'espace L1.
- Lorsque μ est une mesure de probabilité et que f est une transformation ergodique, on a pour / mu-presque tout x :
| f(x) = | ∫ | g.dμ |
| X |
.
