Théorème de van Kampen
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En topologie algébrique, le théorème de van Kampen, également appelé théorème de Seifert-Van Kampen, est un résultat permettant de calculer le groupe fondamental d'un espace topologique qui se décompose en des espaces plus simples dont les groupes fondamentaux sont déjà connus.
[modifier] Énoncé
Soient U1, U2 des ouverts connexes par arcs ainsi que leur intersection, et soit 
. Alors le groupe fondamental de 
en x est égal au produit fibré des groupes fondamentaux de U1 et U2 au-dessus de celui de 
:
.
Un cas particulier essentiel est celui où est simplement connexe : 
est alors le produit libre π(U1,x) * π(U2,x) des groupes fondamentaux de U1 et U2.
Par exemple, un tore percé d'un trou est homéomorphe à la réunion de deux cylindres d'intersection simplement connexe. Le théorème de van Kampen montre que son groupe fondamental est le produit libre de 
par lui-même, à savoir le groupe libre à deux générateurs. De façon similaire, le groupe fondamental du plan projectif est le groupe à deux éléments.
[modifier] Cas de deux sous-espaces fermés
Le théorème énoncé ci-dessus reste valide si U1, U2 et sont des sous-espaces fermés connexes par arcs.
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