Théorème de Terquem

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Théorème dû à Olry Terquem :

Soit ABC un triangle, et trois céviennes concourantes du triangle. Le cercle passant par le pied de ces céviennes déterminent trois autres points sur les côtés du triangle. Ces trois autres points sont également les pieds de céviennes concourantes. Ces six points sont appelés points de Terquem.

Cévienne: On appelle cévienne une droite d'un triangle issue d'un sommet (les hauteurs, médianes, bissectrices sont des céviennes).

[modifier] Cas particuliers

Lorsque les céviennes sont les bissectrices du triangle, le cercle est inscrit dans le triangle et il n'y a que trois points doubles.
Lorsqu'un des triplés est formé par les médianes, l'autre l'est par les hauteurs ou réciproquement, on a alors le cercle d'Euler.

[modifier] Démonstration

D'après le théorème de Céva, si les trois droites (AA'), (BB') et (CC') sont concourantes on a : .

$\frac{\overline{A'B}}{\overline{A'C}}\frac{\overline{B'C}}{\overline{B'A}}\frac{\overline{C'A}}{\overline{C'B}} = -1$

La puissance du point A par rapport au cercle circonscrit à A'B'C' est $p = \overline{B'A} \times \overline{B_1A} = \overline{C'A} \times \overline{C_1A}$ ,
d'où les rapports égaux : $\frac{\overline{C'A}}{\overline{B'A}} = \frac{\overline{B_1A}}{\overline{C_1A}}$ .
De même la puissance de B permet d'écrire $\frac{\overline{A'B}}{\overline{C'B}} = \frac{\overline{C_1B}}{\overline{A_1B}}$ .
Enfin la puissance de C permet d'écrire $\frac{\overline{B'C}}{\overline{A'C}} = \frac{\overline{A_1C}}{\overline{B_1C}}$ .
Le produit des trois rapports de gauche est égal à -1, d'où produit des rapports de droite est aussi égal à -1,

et : $\frac{\overline{A_1C}}{\overline{A_1B}}\frac{\overline{B_1A}}{\overline{B_1C}}\frac{\overline{C_1B}}{\overline{C_1A}} = -1$
D'après la réciproque du théorème de Céva, les trois droites (AA₁), (BB₁) et (CC₁) sont concourantes.