Théorème de Schwarz

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Le théorème de Schwarz, également appelé théorème de Clairaut, peut s'énoncer ainsi :

Soit f, une fonction numérique de n variables, définie sur un ensemble ouvert U de Rⁿ. Si les dérivées partielles existent à l'ordre p et sont continues en un point x de U, alors le résultat d'une dérivation à l'ordre p ne dépend pas de l'ordre dans lequel se fait la dérivation par rapport aux p variables considérées.

Dans le cas particulier des fonctions de deux variables x et y, on obtient :

$\frac{\partial^2f}{\partial x\, \partial y} = \frac{\partial^2f} {\partial y\, \partial x}$

[modifier] Un contre-exemple

Le résultat ci-dessus peut tomber en défaut lorsque les hypothèses ne sont pas vérifiées.

Considérons la fonction : $f(x,y)= \left\{\begin{matrix} \frac{x y^3}{x^2 + y^2}, & \mbox{si } (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & \mbox{sinon} \end{matrix}\right.$

Les dérivées sont :

$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \left\{\begin{matrix} y^3 \frac{y^2- x^2}{( x^2 + y^2 )^2}, & \mbox{si } y \neq 0 \\ 0, & \mbox{sinon} \end{matrix}\right.$

$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\left\{\begin{matrix} x y^2 \frac{3 x^2 + y^2}{( x^2 + y^2 )^2}, & \mbox{si } (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & \mbox{sinon} \end{matrix}\right.$

Les dérivées partielles en (0,0) sont $\left. \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \right)_{0,0} = 0$

et $\left. \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} \right)_{0,0} = 1$

[modifier] Application du théorème de Schwarz aux formes différentielles exactes

Considérons la forme différentielle exacte suivante, où f est une fonction de classe C² :

$\qquad df = a(x,y)dx + b(x,y)dy$

Nous savons alors que :

$\qquad a(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x}$

$\qquad b(x,y) = \frac{\partial f}{\partial y}$

En appliquant le théorème de Schwarz nous en déduisons immédiatement la relation :

$\qquad \frac{\partial a(x,y)}{\partial y} = \frac{\partial b(x,y)}{\partial x}$

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[modifier] Application du théorème de Schwarz aux formes différentielles exactes

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