Théorème de Plancherel
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Le théorème de Plancherel permet d'étendre la transformation de Fourier aux fonctions de carré sommable. Il fut démontré par le mathématicien Michel Plancherel.
Soit f une fonction de carré sommable sur 
et soit A>0. On peut définir la transformée de Fourier de la fonction tronquée à [-A,A] :
Alors lorsque A tend vers l'infini, les fonctions 
convergent en moyenne quadratique vers une fonction qu'on note 
et que l'on appelle transformée de Fourier (ou de Fourier-Plancherel) de f.
En outre la formule d'inversion de Fourier est vérifiée : la fonction est elle-même de carré sommable et
![f = \lim\limits_{\|\;\|_2} \left[x \mapsto \frac1{\sqrt{2\pi}}\, \int_{-A}^{A} \hat{f}(w)\, e^{iwx}\, dw\right]](../../../math/e/7/e/e7efe4cfba3bf239596dfe77d405e44f.png)
Ainsi la transformation de Fourier-Plancherel définit un automorphisme de l'espace L2, qui est qui plus est une isométrie
Cette définition est compatible avec la définition habituelle de la transformée de Fourier des fonctions intégrables.
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