Théorème de Heine

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Le théorème de Heine, nommé ainsi en l'honneur de Édouard Heine, s'énonce ainsi : Soit deux espaces métriques X et Y, tel que X soit également compact. Alors toute application continue de X dans Y est uniformément continue. Cela implique notamment que toute fonction continue de $I = [a, b]$ dans $\mathbb R$ est uniformément continue sur $I$ .

[modifier] Enoncé et démonstration pour les fonctions numériques

[modifier] Enoncé

Soient (a,b) dans R² avec a<b et f une fonction continue de [a,b] dans R

$\forall \epsilon > 0, \exists \alpha >0$ tel que $\forall (x,x') \in [a,b]^2 |x-x'|<\alpha \Rightarrow |f(x)-f(x')|<\epsilon$

On dit alors que f est uniformément continue sur [a,b]

[modifier] Démonstration

Soit $ε > 0$ fixé et $x \in [a,b]$
Comme f est continue sur [a,b], il existe un $α(x)$ tel que $|x-x'|<\alpha (x) \Rightarrow |f(x)-f(x')|<\epsilon$ Mais les $α(x)$ sont en nombre a priori infini, et l'on sait seulement que $inf (\{\alpha (x) ; x\in [a,b]\}) \geq 0$ Le théorème sera démontré si et seulement si on prouve que $inf (\{\alpha (x) ; x\in [a,b]\}) \neq 0$

Si Q est un point du segment [a,b] alors il lui correspond un $α(Q)$ tel que pour tout point P de [a,b]

$(1) \quad PQ \neq \alpha(Q) \Rightarrow |f(P)-f(Q)|<\frac{\epsilon}{2} \quad (2)$

Soit I(Q) l'intervalle de milieu Q et de longueur $α(Q)$ . Ces I(Q) recouvrent [a,b], mais d'après le Théorème de Borel-Lebesgue il suffit d'un recouvrement fini d'entre eux pour recouvrir [a,b]

soit $α$ la longueur du plus petit de ces intervalles en nombre fini

Soient P et P' deux points de [a,b] tel que $PP'<\frac{\alpha}{2} \quad (3)$