Théorème de Cauchy (groupes)
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Il peut s'énoncer ainsi :
Soit 
un groupe fini et p un diviseur premier du cardinal n de G. Alors il existe un élément d'ordre p dans G.
Démonstration:
Comme p est premier, il suffit de montrer l'existence d'un élément h non neutre tel que hp = e
Soit 
, en bijection avec Gp − 1.Or: 
On peut donc définir 
,
qui engendre un groupe de permutations circulaires 
agissant sur E via 
Les orbites 
de φ sont de cardinaux divisant p,et elles partitionnent E: avec a le nombre d'orbites réduites à un élément et b celui des orbites à p éléments, il est clair que 1.a + p.b = | E | = np − 1 : par suite p divise a,donc a est strictement plus grand que 1:
il existe un élément 
autre que (e,...,e) tel que (h1,...,hp) = (h2,...,h1) = ... = (hp,...,hp − 1) -soit h1 = h2 = ... = hp
Finalement: 
[modifier] Voir aussi
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