Théorème de Cauchy-Lipschitz

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Le théorème de Cauchy-Lipschitz assure l'existence locale et l'unicité de la solution d'une équation différentielle. Énoncé par Augustin Louis Cauchy en 1820, c'est Lipschitz qui lui donnera sa forme définitive en 1868.

[modifier] Théorème

[modifier] Énoncé élémentaire

Soit f une fonction de deux variables réelles à valeurs réelles :

$\begin{matrix}f : & U \times I & \to & \mathbb R \\ & (x,t) & \mapsto & f(x,t)\end{matrix}$

où $U \subset \mathbb R$ est un intervalle de la droite réelle, et $I \subset \mathbb R$ un autre intervalle de cette même droite. Considérons l'équation différentielle du premier ordre^[1] :

$\frac{dx(t)}{dt} \ = \ f(x(t),t)$

On suppose de plus que l'équation différentielle est soumise à la condition initiale : $\displaystyle x(t_0) = x_0$ , où $t_0 \in I$ et $x_0 \in U$ .

Si la fonction f est continue et k--Lipschitzienne en x, i.e. si f vérifie la condition de Lipschitz :

$\exists k>0 \quad / \quad \forall \, t \in I , \quad \forall \, (x,y) \in U^2 , \quad \left| \, f(x,t) - f(y,t) \, \right| \ \le \ k \ \left| x - y \right|$

alors il existe une et une seule solution x(t) de l'équation différentielle définie pour tout $t \in J$ , $J \subset I$ étant un intervalle centré sur t₀, vérifiant la condition initiale donnée.

Ce théorème est à rapprocher de la notion de déterminisme en physique classique: si un système suit une loi d'évolution donnée (l'équation différentielle), les mêmes causes (les conditions initiales) produisent les mêmes effets.

[modifier] Remarque

Le théorème de Cauchy-Lipschitz fournit une existence locale : il existe une et une seule solution x(t) qui n'est définie a priori que pour des instants t situés dans un intervalle J centré sur t₀. La question du prolongement maximal de cette solution, i.e. de son existence globale, se traite bien dans le cadre de l'étude des équations différentielles pour des temps t complexes. Ce prolongement maximal est lié à la présence de singularités. On doit notamment à Paul Painlevé d'importantes contributions à ce sujet^[2].

[modifier] Énoncé général

Soit E un espace de Banach ^[3] de dimension finie sur ℝ, O un ouvert de E x ℝ, f une application de O dans E:

$\begin{matrix}f : & O & \to & \mathbb E \\ & (x,t) & \mapsto & f(x,t)\end{matrix}$

continue sur O et localement lipschitzienne en la première variable sur O, i.e. la fonction f vérifie la condition de Lipschitz :

$\forall \, t \in I \subset \mathbb{R}, \quad \forall \, (x,y) \in U \subset E , \quad \left| \left| \, f(x,t) - f(y,t) \, \right| \right| \ \le \ k \ \left| \left| x - y \right| \right|$

où k est une constante. Considérons l'équation différentielle du premier ordre :

$\frac{dx(t)}{dt} \ = \ f(x(t),t)$

Alors^[4] :

les solutions maximales de l'équation diférentielle sont définies sur des intervalles ouverts de ℝ ;

les graphes des solutions maximales forment une partition de O ;

toute solution de l'équation diférentielle est la restriction d'une et d'une seule solution maximale de l'équation.

[modifier] Extension aux équations aux dérivées partielles

Le théorème de Cauchy-Lipschitz assurant l'existence et l'unicité de la solution d'une équation différentielle admet une extension aux équations aux dérivées partielles : le théorème de Cauchy-Kovalevskaïa.

[modifier] Articles connexes

[modifier] Notes

↑ Par exemple, en physique des systèmes dynamiques, la variable t représente le temps, et la variable x un degré de liberté du système étudié, défini par la fonction f.
↑ Lire e.g : Jean Dieudonné (sous la direction de) ; Abrégé d'histoire des mathématiques, Hermann (Paris, 1978), 323-329.
↑ Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet.
↑ Voir e.g. Henri Cartan ; Cours de calcul différentiel, Hermann (Paris, 1977).