Théorème d'Abel (analyse)
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Le théorème d'Abel, ou théorème de convergence radiale d'Abel, est un outil central de l'étude des séries entières.
Théorème : Soit 
une série entière de rayon de convergence égal à 1. Si 
converge, alors on a : 
.
Démonstration
. Prenons 
pour tout 
, alors pour 
, les membres de gauche et de droite tendent respectivement vers 
et 
quand x tend vers 1.
Remarque : Dans le cas où converge absolument, le résultat est trivial, et il n'y a donc pas lieu d'invoquer ce théorème.
Exemples :
- Soit
. Comme 
converge (d'après le critère de convergence des séries alternées), on en déduit que : 
- Soit
. Encore par le critère de convergence des séries alternées, on peut affirmer que 
converge, d'où : 
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