Tangente hyperbolique

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Graphe de la fonction tangente hyperbolique sur une partie de R

La tangente hyperbolique est, en mathématiques, une fonction hyperbolique.

Sommaire

1 Définition
2 Propriétés
3 Valeurs
4 Fonction réciproque
5 Voir aussi

[modifier] Définition

La fonction tangente hyperbolique, notée tanh (parfois, mais plus rarement, th) est la fonction complexe suivante :

$\begin{matrix} \tanh: &\mathbb C &\longrightarrow &\mathbb C \\ \ &z &\longmapsto &\frac {\sinh(z)} {\cosh(z)} \end{matrix}$

où $s i n h$ est la fonction sinus hyperbolique et $c o s h$ la fonction cosinus hyperbolique. Cette définition est analogue à celle de la fonction tangente comme rapport du sinus et du cosinus.

La tangente hyperbolique peut s'exprimer à l'aide de la fonction exponentielle :

$\tanh(z)=\frac {e^z-e^{-z}} {e^z+e^{-z}} = \frac {e^{2z}-1} {e^{2z}+1}$

[modifier] Propriétés

[modifier] Propriétés générales

tanh est continue et infiniment dérivable.
La dérivée de tanh est $\frac {1} {\cosh^2}$ .
La primitive de tanh est $ln \left(\cosh \right) + C$ , à une constante d'intégration C près.
La restriction de tanh à $\mathbb R$ est impaire et strictement croissante. Il s'agit d'une bijection de $\mathbb R$ dans $\left] -1; 1 \right[$ .
tanh est une solution de l'équation différentielle $\frac {1}{2} f'' = f^3 -f$ .

[modifier] Développement en série de Taylor

tanh est infiniment dérivable :

$\tanh^{(n)}(0)=\sum_{k=0}^{n-1} \left(-1\right)^k {n \choose k}$ .

où ${n \choose k}$ est le nombre de combinaisons de k éléments parmi n.

tanh possède donc un développement en série de Taylor en tout point :

$\tanh z = z - \frac {z^3} {3} + \frac {2z^5} {15} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac {tan^{(n)}(0)} {(2n+1)!} z^{2n+1}$ .

[modifier] Développement en fraction continuée

La restriction de tanh à $\mathbb R$ admet un développement en fraction continuée :

$\tanh x=\frac {x} {1+\frac {x^2} {3+\frac {x^3} {5+\cdots} } }$

[modifier] Valeurs

Quelques valeurs de tanh :

$tanh(0) = 0$
$\tanh(1) = \frac {e^2-1} {e^2+1}$
$tanh(i) = i tan(1)$

[modifier] Fonction réciproque

tanh admet une fonction réciproque, notée arctanh. Il s'agit d'une fonction à valeurs multiples complexe. Sa branche principale est généralement choisie en posant comme coupure les segments $\left]-\infty ;-1\right[$ et $\left]1;+\infty \right[$ .

$\operatorname{arctanh}(z) = \frac {1}{2} \left( \ln(1+z)-ln(1-z) \right)$

Pour $x \in \left]-1;1 \right[$ , la restriction de tanh à $\mathbb R$ admet une réciproque : $arctanh(x)=\frac {1}{2} ln\left( \frac {1+x} {1-x} \right)$ .