Sphère de Bloch

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La sphère de Bloch est une représentation géométrique d'un état pur d'un système quantique à deux niveaux ; c'est donc, entre autre, une représentation d'un qubit. Il est possible de généraliser la construction de cette sphère un à un système à n niveaux.

La mécanique quantique se formalise dans les espaces de Hilbert, ou plus exactement, dans les espaces de Hilbert projectifs. L'espace projectif des états purs d'un système à 2 niveaux est isomorphe à une sphère.

La métrique naturelle de la sphère de Bloch est la métrique de Fubini-Study.

[modifier] Le qubit

Considérons un état pur $|\psi\rangle$ d'un système à deux niveaux. En toute généralité, on peut le décomposer sur les états propres de l'espace $|0\rangle$ et $|1\rangle$ par : $|\psi\rangle = \alpha |0\rangle + \beta |1\rangle$ avec $α 2 + β 2 = 1$ et $(\alpha,\beta)\in\mathbb{C}^2$ . De plus, puisque les facteurs de phase n'affectent pas l'état physqiue d'un système, nous pouvons sans perte de généralité supposer $α$ réel positif, et réécrire $|\psi \rangle = \cos \theta \, |0 \rangle + e^{i \phi} \sin \theta \,|1 \rangle$ avec $0 \leq \theta < \frac{\pi}{2}, \quad 0 \leq \phi < 2 \pi.$

Cette représentation décrit ψ sans ambiguïté, sauf dans les cas où il est dans état propre. Les paramètres φ et θ spécifient de manière unique un point sur la sphère unité de $\mathbb{R}^3$ ayant pour coordonnées cartésiennes : $\begin{matrix} x & = & \sin 2 \theta \times \cos \phi \\ y & = & \sin 2 \theta \times \sin \phi \\ z & = & \cos 2 \theta \end{matrix}$ Dans cette représentation, $|0 \rangle \cong (0,0,1)$ et $|1 \rangle \cong (0,0,-1)$

[modifier] Généralisation

Consider an n-level quantum mechanical system. This system is described by an n-dimensional Hilbert space H_n. The pure state space is by definition the set of 1-dimensional rays of H_n.

Theorem. Let U(n) be the Lie group of unitary matrices of size n. Then the pure state space of H_n can be identified with the compact coset space

$\operatorname{U}(n) /(\operatorname{U}(n-1) \times \operatorname{U}(1)).$

To prove this fact, note that there is a natural group action of U(n) on the set of states of H_n. This action is continuous and transitive on the pure states. For any state ψ, the fixed point set of ψ, (defined as the set of elements g of U(n) such that g ψ = ψ) is isomorphic to the product group

$\operatorname{U}(n-1) \times \operatorname{U}(1).$

From this the assertion of the theorem follows from basic facts about transitive group actions of compact groups.

The important fact to note above is that the unitary group acts transitively on pure states.

Now the (real) dimension of U(n) is n². This is easy to see since the exponential map

$A \mapsto e^{i A}$

is a local homeomorphism from the space of self-adjoint complex matrices to U(n). The space of self-adjoint complex matrices has real dimension n².

Corollary. The real dimension of the pure state space of H_n is 2n − 2.

In fact,

$n^2 - ((n-1)^2 +1) = 2 n - 2. \quad$

Let us apply this to consider the real dimension of an m qubit quantum register. The corresponding Hilbert space has dimension 2^m.

Corollary. The real dimension of the pure state space of an m qubit quantum register is 2^m+1 − 2.

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