Semi-norme

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Sommaire

1 Définition
2 Propriétés
3 Famille filtrante de semi-normes
4 Topologie définie par une famille de semi-normes - Espace localement convexe

[modifier] Définition

Soit $E$ un espace vectoriel sur un corps $\mathbb K$ qui est un sous-corps de $\mathbb C$ (en pratique ce sera souvent $\mathbb R$ ou $\mathbb C$ ).

Une semi-norme sur E est une application p de E dans $\mathbb R_+$ vérifiant les axiomes suivants:

$\forall x \in E\quad\forall y \in E\quad p(x+y) \le p(x)+p(y)$
$\forall x \in E\quad\forall\lambda\in\mathbb K\quad p(\lambda.x)= |\lambda|.p(x)$

Si on a la propriété supplémentaire suivante:

$\quad p(x)=0 \Rightarrow x=0 \qquad p$ est une norme sur E.

Exemple: Soit E l'espace vectoriel des applications d'un ensemble U quelconque dans $\mathbb R$ . a étant un élément quelconque de U, l'application $\quad p_a$ définie pour tout $f \in E$ par $\quad p_a(f)=|f(a)|$ est une semi-norme sur E. Ce n'est pas une norme en général.

[modifier] Propriétés

On montre aisément que l'ensemble des semi-normes sur E est stable par les opérations suivantes:

La somme (si $p 1$ et $p 2$ sont des semi-normes, $p 1 + p 2$ en est une également).
Le produit par un réel positif (si $p$ est une semi-norme et $α > 0$ , alors $α. p$ est une semi-norme).
Si $\quad p_1,p_2,...,p_n$ est une suite finie de semi-normes, alors l'application $x \longmapsto p(x)=\sup_{1 \le i \le n}p_i(x)$ est une semi-norme sur E.

[modifier] Famille filtrante de semi-normes

Une famille $(p_i)_{i \in I}$ de semi-normes sur l'espace vectoriel E est dite filtrante si pour toute sous-famille finie $(p_i)_{i \in J}, J \subseteq I, J$ finie, il existe une semi-norme p de la famille majorant toutes les semi-normes de J.

Exemple 1: La famille de semi-normes définie précédemment n'est pas filtrante. Cependant on peut toujours définir une famille filtrante en effectuant une "complétion" comme montré ci-après.

Exemple 2 ("complétion" d'une famille quelconque): Soit une famille quelconque $\mathcal P=(p_i)_{i \in I}$ de semi-normes sur E. On peut alors définir la famille $\mathcal Q$ dont les éléments sont définis par $\quad p_J=$ $\sup_{j \in J}$ $\quad p_j$ , $J$ sous-famille finie de $I$ .

On voit facilement alors que $\mathcal Q$ est une famille filtrante de semi-normes.

[modifier] Topologie définie par une famille de semi-normes - Espace localement convexe

Soit E un espace vectoriel réel ou complexe muni d'une famille filtrante $(p_i / i \in I)$ de semi-normes. Nous définissons la topologie associée en prenant comme base de voisinages de chaque point x les ensembles appelés "p-boules"
$\quad \beta (x,i,R)=$ { $y \in E / p_i(y-x)<R$ } définis pour tout $i \in I$ et tout $R > 0$ .

Autrement dit les voisinages de x sont les ensembles contenant au moins une "p-boule".
Vérifions que les 4 axiomes des voisinages sont bien vérifiés:

Tout voisinage de x contient x (évident ici).
Si $\quad V$ est un voisinage de x et $W \supset V$ alors $\quad W$ est voisinage de x (idem).
L'intersection de 2 voisinages de x est un voisinage de x (en effet si $\quad p_1(y-x)<R_1$ et $\quad p_2(y-x)<R_2$ sont 2 "p-boules" incluses respectivement dans les 2 voisinages, comme la famille de semi-normes est filtrante, il existe une semi-norme $\quad p^*$ de la famille majorant $\quad p_1$ et $\quad p_2$ . Alors $\quad p^*(y-x)<inf(R_1,R_2)$ définit un voisinage de x inclus dans les 2 voisinages initiaux).
Il existe un voisinage de x qui soit voisinage de chacun de ses points. En fait toute "p-boule" est voisinage de chacun de ses points puisque si y est un point de la "p-boule" $\quad \beta (x,i,R)$ , on peut trouver $\quad \alpha > 0$ tel que $\quad p(y-x)+\alpha<R$ et alors $\quad p(z-y)<\alpha$ entraîne $\quad p(z-x)\le p(y-x)+p(z-y)<p(y-x)+\alpha<R$ . Ceci qui montre que la "p-boule" $\quad \beta (y,i,\alpha)$ est incluse dans $\quad \beta (x,i,R)$ qui est donc un voisinage de y.

Démontrons maintenant que la topologie que nous venons de définir est compatible avec la structure d'espace vectoriel, ce qui fait de E un espace vectoriel topologique . Un tel espace est dit espace localement convexe.

L'application $(x,y) \mapsto x+y$ est continue.

En effet un voisinage de x+y contient la "p-boule" $\quad \beta (x+y,i,R)$ dont l'antécédent contient le couple de "p-boules" $\quad (\beta (x,i,R/2),\beta (y,i,R/2)),$

L'application $(\lambda,x) \mapsto \lambda x$ est continue.

En effet un voisinage de $λ x$ contient la "p-boule" $\quad \beta (\lambda x,i,R)$ dont l'antécédent contient le couple $(]-\sqrt R,\sqrt R[,\beta (x,i,\sqrt R))$ .

Plus généralement, si $\quad (p_i)_{i\in I}$ est une famille quelconque de demi-normes, la famille complétée selon la procédure définie à l'exemple 2 ci-dessus est filtrante et définit donc un espace localement convexe dont la toplologie est dite définie par la famille $\quad (p_i)_{i\in I}$ .