Série de Bertrand
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Pour α et β deux réels, on appelle série de Bertrand la série à termes réels positifs suivante :
.
La série harmonique en est un cas particulier (au premier terme près), pour α = 1 et β = 0 :
- Proposition :
Une série de Bertrand converge si, et seulement si 
.
- Cette condition nécessaire et suffisante est parfois résumée en : « le couple (α,β) est lexicographiquement postérieur à (1,1)». Cela se réfère à l'ordre adopté pour trier les mots dans un dictionnaire : on tient compte de la première lettre, puis de la deuxième, etc.
- Exemple :
On sait que la série harmonique diverge, et que la série 
converge si, et seulement si α > 1 (série de Riemann). Bien-sûr, si α > 1, 
, cependant il existe des séries dont le terme général est négligeable devant 
mais qui divergent.
La série de Bertrand permet alors d'exhiber un contre-exemple à l'implication erronée suivante : 
converge. La « (1,1)-série de Bertrand », ie la série :
est divergente, d'après la proposition, alors que 
.
