Produit direct (groupes)
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En théorie des groupes on définit le produit direct de deux groupes en munissant d'une structure de groupe le produit cartésien des deux groupes de départ. Une façon simple de visualiser cette nouvelle structure est simplement de considérer que l'on a accolé les deux groupes, chacune des structures restant strictement indépendante de l'autre.
Dans tout cet article, 
et 
désignent des groupes, de neutres respectifs 
et 
.
Sommaire |
[modifier] Définition
On munit l'ensemble 
de la loi interne suivante:
:
possède alors une structure de groupe, appelée produit direct ou groupe produit des groupes
et .
[modifier] Propriétés
est un sous-groupe distingué de G isomorphe à G1
De la même façon, on a le résultat suivant:
est un sous-groupe distingué de G isomorphe à G2
[modifier] Exemple
Prenons G 1 et G 2 isomorphes à l'unique groupe d'ordre 2, 
, et posons-les par exemple égaux à { 0 , a } et { 0 , b } munis chacun d'une loi additive.
Alors G 1×G 2 = { ( 0 , 0 ) , ( 0 , b ) , ( a , 0 ) , ( a , b ) } , avec l'addition des couples notée + .
Ainsi, par exemple : ( 0 , b ) + ( a , 0 ) = ( 0 + a , b + 0 ) = ( a , b ) , et ( 0 , b ) + ( 0 , b ) = ( 0 , 2b ) = ( 0 , 0 ) .
Le groupe obtenu est isomorphe au groupe de Klein.
