Produit (mathématiques)

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Un produit est le résultat d'une multiplication, ou une expression qui identifie les facteurs à multiplier. L'ordre dans lequel les nombres réels ou les nombres complexes sont multipliés, de même que la façon de regrouper ces termes, n'ont pas d'importance; ainsi toute permutation des termes ne modifie pas le résultat du produit. Ces propriétés sont connues comme étant la commutativité de la loi de multiplication et l'associativité.

[modifier] Cas simples et notations

[modifier] Principe pour les entiers décimaux

Dans le cas des nombres entiers, la multiplication revient à faire des additions identiques, par exemple :

7 + 7 + 7 + 7 + 7

peut se noter^[1]

5 × 7

Dans ce cas, le résultat est 35. Comme le nombre 7 est répété 5 fois, on peut dire "5 fois 7" et comme l'ordre des facteurs n'influe pas, on dit également "7 fois 5".

Cette opération peut aussi se noter^[2]

5 · 7 = 35

ou bien

$\begin{matrix} & 5 \\ \times & 7 \\ & \overline{35} \end{matrix}$

Lorsque l'on multiplie des inconnues, on peut simplement accoler les symboles pour marquer la multiplication :

la multiplication de a par b peut se noter indifféremment a×b, a·b ou ab.

En programmation informatique, les langages utilisent en général l'astérisque « * » (signe étoile) :

5*7

Le résultat peut être obtenu:

par additions successives (fréquent pour les petits nombres, mais rapidement inutilisable)
par une table de multiplication
par l'exécution d'un algorithme (de tête, à la main avec un instrument d'écriture, ou à l'aide d'une calculateur). Il existe pour cela des méthodes qui font partie du bagage culturel, et d'autres qui sont des objets de recherche.

[modifier] Principe pour les nombres décimaux

Un nombre décimal est un nombre entier qui a été divisé par une puissance de dix (1 — c'est alors un entier —, 10, 100, 1 000…). La distributivité de la multiplication sur la division permet de calculer les multiplicaitons de nombre décimaux comme celle des nombres entiers :

on ignore les virgules et l'on multiplie les nombres comme si c'étaient des entiers ;
le nombre de chiffres après la virgules du résultat final est la somme du nombre de chiffre après la virgule du multiplicande et du multiplicateur.

Par exemple :

pour calculer 5,3×0,21

on calcule 53×21, ce qui donne 1 113 ;
le multiplicateur a un chiffre après la virgule, le multiplicande en a deux, le résultat en a donc trois (1+2) : le résultat final est 1,113.

[modifier] Vocabulaire

Le premier membre de l'opération s'appelle multiplicande, le second membre s'appelle le multiplicateur :

multiplicande × multiplicateur

[modifier] Définition mathématique

[modifier] Généralisation

Plus généralement, un produit est le résultat de la composition de deux éléments d'un ensemble pour une loi interne multiplicative. Lorsque des matrices ou des objets de diverses autres algèbres associatives sont multipliés, le produit dépend en général de l'ordre des facteurs; en d'autres termes, la multiplication des matrices, et les lois de multiplication de ces autres algèbres, ne sont pas commutatives.

Des généralisations et des extensions du concept de produit existent en mathématiques :

le produit scalaire et le produit vectoriel sont des sortes de multiplications de vecteurs ;
le produit matriciel, la multiplication des matrices n'est pas commutative ;
le produit usuel de deux fonctions ;
les produits dans des anneaux ou dans des corps de toutes sortes.

Il faut noter que des multiplications respectant l'invariance des normes (la norme du produit de deux objets est égale au produit de leur norme) n'ont pu être définies que pour quelques objets: les réels, les complexes, les quaternions et les octonions.

[modifier] Produit indicé

Le produit peut être noté ∏ (pi capitale) ^[3] lorsque de nombreux facteurs indicés interviennent. Par exemple, si l'on considère une suite $(u_n)_{n \in \N}$ , alors : $\prod_{i=1}^N u_i = u_1 \times u_2 \times \cdots u_N$

Article détaillé : Langage formel mathématique#Produit.

[modifier] Notes

↑ la croix de multiplication peut s'obtenir
- en HTML, par l'appel × ;
- en LaTeX, dans l'environnement mathématiques ( $…$ ou \[…\]), par la commande \times
↑ nous avons utilisé ici le point médian ; si l'on utilise la virgule comme séparateur décimal, ce qui est le cas dans la convention francophone, on peut utiliser le point sur la ligne, mais l'utilisation du point médian est indispensable lorsque l'on utilise le point comme séparateur décimal (convention anglo-saxonne)
↑ Ce signe peut s'obtenir
- en HTML, par l'appel ∏ ;
- en LaTeX, dans l'environnement mathématiques ( $…$ ou \[…\]), par la commande \prod_{indice}^{exposant}