Polynômes orthogonaux

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Vous avez de nouveaux messages (diff^?).

Cet article est une ébauche à compléter concernant l'analyse (branche des mathématiques), vous pouvez partager vos connaissances en le modifiant.

Cet article est une ébauche à compléter concernant l'algèbre, vous pouvez partager vos connaissances en le modifiant.

Sommaire

1 Introduction
- 1.1 Exemple : les polynômes de Legendre
2 Propriétés des suites de polynômes orthogonaux
3 Équations différentielles conduisant à des polynômes orthogonaux
4 Tableau des polynômes orthogonaux classiques
5 Voir aussi
6 Références

[modifier] Introduction

En mathématiques, une suite de polynômes orthogonaux est une suite infinie de polynômes p₀(x), p₁(x), p₂(x) ... , dans laquelle chaque p_n(x) a un degré n et de telle sorte que les polynômes de la suite sont orthogonaux deux à deux, au sens suivant :

Nous pouvons définir le produit scalaire de fonctions, (par analogie avec le produit scalaire pour les vecteurs), en intégrant le produit de ces fonctions:

$\langle f,g \rangle=\int_{x_1}^{x_2} f(x)g(x)\,dx$

Plus généralement, nous pouvons introduire une "fonction poids" W(x) dans l'intégrale :

$\langle f,g \rangle=\int_{x_1}^{x_2} f(x)g(x)W(x)\,dx$

Avec cette définition de produit scalaire, deux fonctions sont orthogonales entre elles si leur produit scalaire est égal à zéro (de la même manière que deux vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires) si leur produit scalaire égale zéro).

Un tel produit scalaire fait de l'ensemble de toutes les fonctions de norme finie, un espace de Hilbert.

L'intervalle d'intégration est appelé intervalle d'orthogonalité. Il peut être infini à une ou deux bornes.

Ce domaine des polynômes orthogonaux a été développé durant le XIXe siècle par l'étude des fractions continuées par Stieltjes. En a découlé de multiples applications en mathématiques et en physique.

[modifier] Exemple : les polynômes de Legendre

Les polynômes orthogonaux les plus simples sont les polynômes de Legendre pour lesquels l'intervalle d'orthogonalité est [−1, 1] et la fonction poids est simplement la fonction constante de valeur 1:

$P_0(x) = 1\,$

$P_1(x) = x\,$

$P_2(x) = \frac{3x^2-1}{2}\,$

$P_3(x) = \frac{5x^3-3x}{2}\,$

$P_4(x) = \frac{35x^4-30x^2+3}{8}\,$

$\dots\,$

Ils sont tous orthogonaux sur [−1, 1]:

$\int_{-1}^{1} P_m(x)P_n(x)\,dx = 0\qquad \mathrm{pour}\qquad m \ne n$

La fonction poids doit être strictement positive dans le domaine d'intégration. Dans certains cas, elle peut être nulle ou infinie aux bornes de l'intégrale. L'intégrale du produit de la fonction poids par un polynôme doit être finie.

Toute suite de polynômes $p_0, p_1 \dots$ , où chaque $\ p_k$ est de degré k, est une base de l'espace vectoriel (de dimension infinie) de tous les polynômes. Une suite de polynômes orthogonaux est simplement une suite qui comprend une base orthogonale pour cet espace, relativement à ce produit scalaire.

Le procédé de Gram-Schmidt peut transformer toute base d'un espace vectoriel (muni d'un produit scalaire) en une base orthogonale. On démarre avec un vecteur et en incorporant, un par un, de nouveaux vecteurs de telle manière que chaque nouveau vecteur soit orthogonal à tous les précédents. Ceci est réalisé en soustrayant une combinaison linéaire des précédents vecteurs. Ceci est souvent un exercice pour les premiers cours élémentaires d'algèbre linéaire. Il en résulte les polynômes de Legendre.

Quand on construit une base orthogonale, on peut être tenté de la rendre orthonormale, c'est-à-dire, dans laquelle $\langle p_n, p_n \rangle\ =\ 1$ . Dans le cas des polynômes, il en résulte souvent d'affreuses racines carrées pour les coefficients. À la place, les polynômes sont transformés, d'une manière approuvée par les mathématiciens, pour que les coefficients donnent des formules plus simples. On appelle cela standardisation. Les polynômes "classiques" énumérés ci-dessous ont été normalisés. Typiquement, leurs coefficients du terme de plus haut degré ont été mis à une quantité donnée. Cette normalisation n'a pas de signification mathématique, c'est juste une convention. La normalisation implique aussi une mise à l'échelle de la fonction poids.

Une fois la suite de polynômes normalisée, on peut définir la norme. Soit

$h_n=\langle p_n,\ p_n \rangle$

La norme est la racine carrée de ceci. Les valeurs de $\ h_n$ pour la normalisation sont énumérées dans le tableau ci-dessous. Nous avons

$\langle p_m,\ p_n \rangle\ =\ \delta_{mn}h_n$

où δ_mn est le delta de Kronecker.

[modifier] Propriétés des suites de polynômes orthogonaux

Toute suite de polynômes orthogonaux possède un grand nombre de propriétés élégantes et fascinantes. Pour commencer :

Lemme 1: Etant donné une suite de polynômes orthogonaux $\ p_i(x)$ , tout polynôme $\ S(x)$ de degré n peut s'exprimer de manière unique comme une combinaison linéaire de $p_0 \dots p_n$ . C'est-à-dire, il existe des coefficients ${\alpha}_0 \dots {\alpha}_n$ tel que

$S(x)=\sum_{i=0}^n {\alpha}_i\ p_i(x)$

Lemme 2: Etant donnée une suite de polynômes orthogonaux, tout élément de cette suite est orthogonal à n'importe quel polynôme de degré strictement inférieur.

[modifier] Relation de récurrence

Pour toute suite de polynômes orthogonaux, il existe une relation de récurrence relativement à trois polynômes consécutifs.

$p_{n+1}\ =\ (a_nx+b_n)\ p_n\ -\ c_n\ p_{n-1}$

Les coefficients a, b, et c dépendent de n. Ils dépendent aussi de la standardisation, bien évidemment.

Les valeurs de $a n$ , $b n$ et $c n$ peuvent être calculées directement. Soient $k j$ et $k j'$ les deux premiers coefficients de $p j$ :

$p_j(x)=k_jx^j+k_j'x^{j-1}+\cdots$

et $h j$ le produit scalaire de $p j$ par lui-même :

$h_j\ =\ \langle p_j,\ p_j \rangle$

On obtient

$a_n=\frac{k_{n+1}}{k_n}\ \ \ \ \ \ \ b_n=a_n \left(\frac{k_{n+1}'}{k_{n+1}} - \frac{k_n'}{k_n} \right)\ \ \ \ \ \ \ c_n=a_n \left(\frac{k_{n-1}h_n}{k_n h_{n-1}} \right).$

[modifier] Existence de racines réelles

Tout polynôme d'une suite de polynômes orthogonaux dont le degré n est supérieur ou égal à 1 admet n racines distinctes, toutes réelles, et situées strictement à l'intérieur de l'intervalle d'intégration.

(Quiconque a déjà dessiné la courbe représentative d'un polynôme, sait à quel point il est rare, pour un polynôme dont les coefficients ont été choisis au hasard, d'avoir toutes ses racines réelles.)

[modifier] Position des racines

Les racines des polynômes se trouvent strictement entre les racines du polynôme de degré supérieur dans la suite.

[modifier] Équations différentielles conduisant à des polynômes orthogonaux

Une importante classe des polynômes orthogonaux provient d'une équation différentielle de la forme

${Q(x)}\,f'' + {L(x)}\,f' + {\lambda}f = 0\,$

où Q est un polynôme quadratique donné et L un polynôme linéaire donné. La fonction f et la constante λ sont les inconnues.

(Remarquer qu'une solution polynomiale a tout son sens pour une telle équation.

Chaque terme de l'équation est un polynôme, et les degrés sont conformes).

Les solutions de cette équation différentielle ont des singularités, à moins que λ ne prenne des valeurs spécifiques. La suite de nombres ${\lambda}_0, {\lambda}_1, {\lambda}_2 \dots\,$ conduit à une suite de polynômes solutions $P_0, P_1, P_2 \dots\,$ si l'une des assertions suivantes est vérifiée :

Q est vraiment quadratique, L est linéaire, Q a deux racines réelles distinctes, la racine de L est située entre les deux racines de Q, et les termes de plus haut degré de Q et L ont le même signe.
Q n'est pas quadratique, mais linéaire, L est linéaire, les racines de Q et L sont différentes, et les termes de plus haut degré de Q et L ont le même signe si la racine de L est plus petite que celle de Q, ou inversement.
Q est un polynôme constant non nul, L est linéaire, et le terme de plus haut degré de L est de signe opposé à celui de Q.

Ces trois cas conduisent respectivement aux polynômes de Jacobi, de Laguerre et de Hermite. Pour chacun de ces cas :

La solution est une suite de polynômes $P_0, P_1, P_2 \dots\,$ , chaque $P_n\,$ ayant un degré n, et correspondant au nombre ${\lambda}_n\,$ .
L'intervalle d'orthogonalité est limité par les racines de Q.
La racine de L est à l'intérieur de l'intervalle d'orthogonalité.
En notant $R(x) = e^{\int \frac{L(x)}{Q(x)}\,dx}\,$ , les polynômes sont orthogonaux sous la fonction poids $W(x) =\frac{R(x)}{Q(x)}\,$
W(x) ne peut pas s'annuler ou prendre une valeur infinie dans l'intervalle, bien qu'il puisse le faire sur les extrêmités.
W(x) peut être choisi pour être positif sur l'intervalle (multiplier l'équation différentielle par -1 si nécessaire)

En raison de la constante d'intégration, la quantité R(x) est définie à une constante multiplicative près. Le tableau plus bas donne les valeurs "officielles" de R(x) et W(x).

[modifier] Formule de Rodrigues

Avec les hypothèses de la section précédente, P_n(x) est proportionel à $\frac{1}{W(x)} \ \frac{d^n}{dx^n}\left(W(x)[Q(x)]^n\right)$

équation mieux connue sous le nom de « formule de Rodrigues ». Elle est souvent écrite :

$P_n(x) = \frac{1}{{e_n}W(x)} \ \frac{d^n}{dx^n}\left(W(x)[Q(x)]^n\right)$

où les nombres e_n dépendent de la normalisation. Les valeurs de e_n sont données dans le tableau plus bas.

[modifier] Les nombres λ_n

Avec les hypothèses de la section précédente,

${\lambda}_n = - n \left( \frac{n-1}{2}\ Q'' + L' \right)$

(Dès lors que $Q$ est quadratique et $L$ linéaire, $Q''$ et $L'$ sont constants, ce sont effectivement des nombres.)

[modifier] Seconde forme de l'équation différentielle

Avec $R(x) = e^{\int \frac{L(x)}{Q(x)}\,dx}\,$ .

Alors

$(Ry')' = R\,y'' + R'\,y' = R\,y'' + \frac{R\,L}{Q}\,y'$

En multipliant maintenant l'équation différentielle

${Q}\,y'' + {L}\,y' + {\lambda}\,y = 0\,$

par R/Q, on obtient

$R\,y'' + \frac{R\,L}{Q}\,y' + \frac{R\,\lambda}{Q}\,y = 0\,$

ou encore

$(Ry')' + \frac{R\,\lambda}{Q}\,y = 0\,$

C'est le forme normalisée de Sturm-Liouville de l'équation.

[modifier] Troisième forme de l'équation différentielle

En posant $S(x) = \sqrt{R(x)} = e^{\int \frac{L(x)}{2\,Q(x)}\,dx}\,$ .

Alors :

$S' = \frac{S\,L}{2\,Q}.$

En multipliant maintenant l'équation différentielle

${Q}\,y'' + {L}\,y' + {\lambda}\,y = 0\,$

par S/Q, on obtient :

$S\,y'' + \frac{S\,L}{Q}\,y' + \frac{S\,\lambda}{Q}\,y = 0\,$

ou encore

$S\,y'' + 2\,S'\,y' + \frac{S\,\lambda}{Q}\,y = 0\,$

Mais $(S\,y)'' = S\,y'' + 2\,S'\,y' + S''\,y$ , donc

$(S\,y)'' + \left(\frac{S\,\lambda}{Q} - S''\right)\,y = 0,\,$

ou, en posant u = Sy,

$u'' + \left(\frac{\lambda}{Q} - \frac{S''}{S}\right)\,u = 0.\,$

[modifier] Tableau des polynômes orthogonaux classiques

Nom et symbole conventionnel	Chebyshev, $\ T_n$	Chebyshev (seconde sorte), $\ U_n$	Legendre, $\ P_n$	Hermite, $\ H_n$
Limite d'orthogonalité	$-1, 1\,$	$-1, 1\,$	$-1, 1\,$	$-\infty, \infty$
Poids, $W(x)\,$	$(1-x^2)^{-1/2}\,$	$(1-x^2)^{1/2}\,$	$1\,$	$e^{-x^2}$
Normalisation	$T_n(1)=1\,$	$U_n(1)=n+1\,$	$P_n(1)=1\,$	Terme de plus haut degré = $2^n\,$
Carré de la norme $h_n\,$	$\left\{ \begin{matrix} \pi &:~n=0 \\ \pi/2 &:~n\ne 0 \end{matrix}\right.$	$\pi/2\,$	$\frac{2}{2n+1}$	$2^n\,n!\,\sqrt{\pi}$
Terme de plus haut degré, $k_n\,$	$2^{n-1}\,$	$2^n\,$	$\frac{(2n)!}{2^n\,(n!)^2}\,$	$2^n\,$
Second terme, $k'_n\,$	$0\,$	$0\,$	$0\,$	$0\,$
$Q\,$	$1-x^2\,$	$1-x^2\,$	$1-x^2\,$	$1\,$
$L\,$	$-x\,$	$-3x\,$	$-2x\,$	$-2x\,$
$R(x) =e^{\int \frac{L(x)}{Q(x)}\,dx}$	$(1-x^2)^{1/2}\,$	$(1-x^2)^{3/2}\,$	$1-x^2\,$	$e^{-x^2}\,$
Constante dans l'équation différentielle, ${\lambda}_n\,$	$n^2\,$	$n(n+2)\,$	$n(n+1)\,$	$2n\,$
Constante dans la formule de Rodrigues, $e_n\,$	$(-2)^n\,\frac{\Gamma(n+1/2)}{\sqrt{\pi}}\,$	$2(-2)^n\,\frac{\Gamma(n+3/2)}{(n+1)\,\sqrt{\pi}}\,$	$(-2)^n\,n!\,$	$(-1)^n\,$
Relation de recurrence, $a_n\,$	$2\,$	$2\,$	$\frac{2n+1}{n+1}\,$	$2\,$
Relation de recurrence, $b_n\,$	$0\,$	$0\,$	$0\,$	$0\,$
Relation de recurrence, $c_n\,$	$1\,$	$1\,$	$\frac{n}{n+1}\,$	$2n\,$

Nom et symbole	Laguerre associé, $L_n^{(\alpha)}$	Laguerre, $\ L_n$
Limites d'orthogonalité	$0, \infty\,$	$0, \infty\,$
Poids, $W(x)\,$	$x^{\alpha}e^{-x}\,$	$e^{-x}\,$
Normalisation	Lead term = $\frac{(-1)^n}{n!}\,$	Lead term = $\frac{(-1)^n}{n!}\,$
Carré de la norme $h_n\,$	$1\,$	$1\,$
Terme de plus haut degré $k_n\,$	$\frac{(-1)^n}{n!}\,$	$\frac{(-1)^n}{n!}\,$
Second terme, $k'_n\,$	$\frac{(-1)^{n+1}(n+\alpha)}{(n-1)!}\,$	$\frac{(-1)^{n+1}n}{(n-1)!}\,$
$Q\,$	$x\,$	$x\,$
$L\,$	$\alpha+1-x\,$	$1-x\,$
$R(x) =e^{\int \frac{L(x)}{Q(x)}\,dx}$	$x^{\alpha+1}\,e^{-x}\,$	$x\,e^{-x}\,$
Constante dans l'équation différentielle, ${\lambda}_n\,$	$n\,$	$n\,$
Constante dans la relation de Rodrigues, $e_n\,$	$n!\,$	$n!\,$
Relation de récurrence, $a_n\,$	$\frac{-1}{n+1}\,$	$\frac{-1}{n+1}\,$
Relation de récurrence, $b_n\,$	$\frac{2n+1+\alpha}{n+1}\,$	$\frac{2n+1}{n+1}\,$
Relation de récurrence, $c_n\,$	$\frac{n+\alpha}{n+1}\,$	$\frac{n}{n+1}\,$

Nom et symbole	Gegenbauer, $C_n^{(\alpha)}$	Jacobi, $P_n^{(\alpha, \beta)}$
Limites d'orthogonalité	$-1, 1\,$	$-1, 1\,$
Poids, $W(x)\,$	$(1-x^2)^{\alpha-1/2}\,$	$(1-x)^\alpha(1+x)^\beta\,$
Normalisation	$C_n^{(\alpha)}(1)=\frac{\Gamma(n+2\alpha)}{n!\,\Gamma(2\alpha)}\,$ if $\alpha\ne0$	$P_n^{(\alpha, \beta)}(1)=\frac{\Gamma(n+1+\alpha)}{n!\,\Gamma(1+\alpha)}\,$
Carré de la norme, $h_n\,$	$\frac{\pi\,2^{1-2\alpha}\Gamma(n+2\alpha)}{n!(n+\alpha)(\Gamma(\alpha))^2}$	$\frac{2^{\alpha+\beta+1}\,\Gamma(n\!+\!\alpha\!+\!1)\,\Gamma(n\!+\!\beta\!+\!1)} {n!(2n\!+\!\alpha\!+\!\beta\!+\!1)\Gamma(n\!+\!\alpha\!+\!\beta\!+\!1)}$
Terme de plus haut degré, $k_n\,$	$\frac{\Gamma(2n+2\alpha)\Gamma(1/2+\alpha)}{n!\,2^n\,\Gamma(2\alpha)\Gamma(n+1/2+\alpha)}\,$	$\frac{\Gamma(2n+1+\alpha+\beta)}{n!\,2^n\,\Gamma(n+1+\alpha+\beta)}\,$
Second terme, $k'_n\,$	$0\,$	$\frac{(\alpha-\beta)\,\Gamma(2n+\alpha+\beta)}{(n-1)!\,2^n\,\Gamma(n+1+\alpha+\beta)}\,$
$Q\,$	$1-x^2\,$	$1-x^2\,$
$L\,$	$-(2\alpha+1)\,x\,$	$\beta-\alpha-(\alpha+\beta+2)\,x\,$
$R(x) =e^{\int \frac{L(x)}{Q(x)}\,dx}$	$(1-x^2)^{\alpha+1/2}\,$	$(1-x)^{\alpha+1}(1+x)^{\beta+1}\,$
Constante dans l'équation différentielle, ${\lambda}_n\,$	$n(n+2\alpha)\,$	$n(n+1+\alpha+\beta)\,$
Constante dans l'équation de Rodrigues, $e_n\,$	$\frac{(-2)^n\,n!\,\Gamma(2\alpha)\,\Gamma(n\!+\!1/2\!+\!\alpha)} {\Gamma(n\!+\!2\alpha)\Gamma(\alpha\!+\!1/2)}$	$(-2)^n\,n!\,$
Relation de récurrence, $a_n\,$	$\frac{2(n+\alpha)}{n+1}\,$	$\frac{(2n+1+\alpha+\beta)(2n+2+\alpha+\beta)}{2(n+1)(n+1+\alpha+\beta)}$
Relation de récurrence, $b_n\,$	$0\,$	$\frac{({\alpha}^2-{\beta}^2)(2n+1+\alpha+\beta)}{2(n+1)(2n+\alpha+\beta)(n+1+\alpha+\beta)}$
Relation de récurrence, $c_n\,$	$\frac{n+2{\alpha}-1}{n+1}\,$	$\frac{(n+\alpha)(n+\beta)(2n+2+\alpha+\beta)}{(n+1)(n+1+\alpha+\beta)(2n+\alpha+\beta)}$