Paradoxe du coin
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Le paradoxe du coin est une particularité mathématique étonnante. Si on découpe un triangle selon un quadrillage, de telle sorte que plusieurs constructions soient possibles, alors il y a certaines constructions où il manque un carré unitaire.
C'est en effet très étonnant, car l'aire du triangle peut être décomposée : c'est la somme des carrés qui le composent - par extension la somme des carrés qui composent les formes de base. Dans notre exemple :
- Vert : 8 carrés ;
- Orange : 7 carrés ;
- Bleu : 5 carrés ;
- Rouge : 12 carrés;
Cela donne un triangle d'aire 12 + 5 + 7 + 8 = 32. Or si on applique la formule de l'aire au triangle, on obtient 13 × 5 / 2 = 32,5. Le triangle manquant dans certaines formations correspond à cette "demi-unité" d'aire manquante, qui apparaît donc une fois sur deux !
Bien entendu, ce paradoxe s'explique très simplement. Il suffit de constater que la figure présentée comme un triangle n'en est pas un : l'hypoténuse est légèrement concave ou convexe, selon le cas. On peut pour s'en convaincre comparer les angles des deux « triangles », environ 22° ou 23,6° pour l'angle aigu, et 66,4° ou 68° pour l'autre, selon la figure choisie. Ainsi la somme des trois angles est dans un cas inférieure et dans l'autre cas supérieure à 180°.
Finalement, la « surface manquante » ne fait que compenser l'écart entre la légère convexité et la légère concavité des prétendus triangles.
Cette construction géométrique est liée à la suite de Fibonacci. En effet, la différence entre le produit de deux termes consécutifs de cette suite (ici 3 et 5) et le produit des deux termes adjacents (ici 2 et 8) vaut toujours 1. On peut donc réaliser sur le même principe de faux triangles de côtés 2 et 5, 3 et 8, 5 et 13 (comme ici), 8 et 21, etc.
