Opérateur pseudo-différentiel

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En analyse mathématique, un opérateur pseudo-differentiel est une extension du concept familier d'opérateur différentiel, permettant notamment l'inclusion d'ordres de dérivation non entiers. Ces opérateurs pseudo-differentiels sont abondamment utilisés dans la théorie des équations aux dérivées partielles et en théorie quantique des champs.

[modifier] Rappels et notations

On reprend ci-dessous les notation introduites dans l'article opérateur différentiel.

[modifier] Opérateur différentiel

Rappelons qu'un opérateur différentiel linéaire d'ordre $m$ s'écrit :

$\mathfrak{D} \ = \ \sum_{|\alpha| = 0}^m \ a_{\alpha}(x) \ D^{\alpha}$

où les $a α (x)$ , appelées coefficents de l'opérateur $\mathfrak{D}$ , sont des fonctions des $n$ variables d'espace $x^k \ (k = 1, \ \dots , \ n)$ .

[modifier] Introduction de la transformée de Fourier

[modifier] Définition

On définit ici la transformée de Fourier de la fonction $f (x)$ de $n$ variables par :

$\hat{f}(\xi) \ = \ \int dx \ e^{- \, i \, \xi \, x} \ f(x)$

La formule de transformation inverse s'écrit alors :

$f(x) \ = \ \int \frac{d \xi}{(2\pi)^n} \ e^{+ \, i \, \xi \, x} \ \hat{f}(\xi)$

[modifier] Application aux opérateurs différentiels

Le symbole de l'opérateur différentiel $\mathfrak{D}$ d'ordre $m$ est la fonction $σ(x,ξ)$ des $2 n$ variables $(x,ξ)$ polynomiale en $ξ$ :

$\sigma (x, \xi) = \sum_{|\alpha| = 0}^m \ a_{\alpha}(x) \ \xi^{\alpha}$

L'opérateur différentiel $\mathfrak{D}$ linéaire d'ordre $m$ vérifie alors la relation :

$(\mathfrak{D} \,f)(x) \ = \ \int \frac{d \xi}{(2\pi)^n} \ e^{+ \, i \, \xi \, x} \ \sigma (x,\xi) \ \hat{f}(\xi)$

On constate que cette formule pourrait en fait permettre de définir l'opérateur $\mathfrak{D}$ à partir de son symbole $σ(x,ξ)$ . On va mettre cette idée à profit dans le paragraphe suivant.

[modifier] Introduction : opérateur pseudo-différentiel à coefficients constants

[modifier] Opérateur différentiel à coefficients constants

Si les coefficients $a α$ de l'opérateur différentiel $\mathfrak{D}$ d'ordre $m$ sont indépendants des $n$ variables d'espace $x k$ , son symbole est seulement une fonction $σ(ξ)$ des $n$ variables $ξ$ polynomiale en $ξ$ :

$\sigma (\xi) = \sum_{|\alpha| = 0}^m \ a_{\alpha} \ \xi^{\alpha}$

de telle sorte que :

$(\mathfrak{D} \,f)(x) \ = \ \int \frac{d \xi}{(2\pi)^n} \ e^{+ \, i \, \xi \, x} \ \sigma (\xi) \ \hat{f}(\xi)$

soit encore, en utilisant la transformation de Fourier inverse ^[1] :

$(\widehat{\mathfrak{D} \, f})(\xi) \ = \ \sigma (\xi) \ \hat{f}(\xi)$

[modifier] Définition : opérateur pseudo-différentiel à coefficients constants

Soit une fonction $p (ξ)$ des $n$ variables $ξ$ . On associe à cette fonction un opérateur pseudo-différentiel $P D$ à coefficients constants, dont l'action sur une fonction $f$ est définie par l'intégrale suivante :

$(P_D \,f)(x) \ = \ \int \frac{d \xi}{(2\pi)^n} \ e^{+ \, i \, \xi \, x} \ p (\xi) \ \hat{f}(\xi)$

Pour que l'intégrale ait un sens, il faut que le symbole $p (ξ)$ présente quelques « bonnes » propriétés :

la fonction $p (ξ)$ doit être lisse.

la fonction $p (ξ)$ doit avoir une croissance tempérée lorsque $| \xi | \to \infty$ , cette croissance tempérée devant de plus s'améliorer par dérivation. Par analogie avec le cas d'un opérateur différentiel d'ordre $m$ , où cette croissance est polynomiale, on est amené à demande ici qu'il existe un nombre $m$ tel que :

$\forall \ \alpha , \quad \left| \ \partial^{\alpha}_{\xi} \ p (\xi) \ \right| \ \le \ C_{\alpha} \ \left( 1 \ + \ | \xi | \ \right)^{m - |\alpha|}$

où les $C α$ sont des constantes, qui peuvent dépendre de $α$ .

[modifier] Calcul symbolique exact

Soient $P 1$ et $P 2$ deux opérateurs pseudo-différentiels à coefficients constants, définis respectivements par les symboles $p 1 (ξ)$ et $p 2 (ξ)$ . Alors, l'opérateur $P = P_1 \ P_2$ est encore un opérateur pseudo-différentiel à coefficients constants, dont le symbole est le produit $p_1(\xi) \ p_2(\xi)$ .

[modifier] Opérateur pseudo-différentiel : cas général

[modifier] Définition

Soit une fonction $p (x,ξ)$ des $2 n$ variables $(x,ξ)$ . On associe à cette fonction un opérateur pseudo-différentiel $P D$ , dont l'action sur une fonction $f$ est définie par l'intégrale suivante :

$(P_D \,f)(x) \ = \ \int \frac{d \xi}{(2\pi)^n} \ e^{+ \, i \, \xi \, x} \ p (x, \xi) \ \hat{f}(\xi)$

Remarque : on note parfois cet opérateur pseudo-différentiel à partir de son symbole de la façon suivante : $P D = p (x, D)$

[modifier] Propriétés requises du symbole

Pour que l'intégrale ait un sens, il faut que le symbole $p (x,ξ)$ présente quelques « bonnes » propriétés, énoncées ci-dessous :

la fonction $p (x,ξ)$ doit avoir une croissance tempérée lorsque $| \xi | \to \infty$ , cette croissance tempérée devant de plus s'améliorer par dérivation. Par analogie avec le cas d'un opérateur différentiel d'ordre $m$ , où cette croissance est polynomiale, on est amené à demande ici qu'il existe un nombre $m$ tel que :

$\forall \ \alpha , \quad \left| \ \partial^{\alpha}_{\xi} \ p (x,\xi) \ \right| \ \le \ C_{\alpha} \ \left( 1 \ + \ | \xi | \ \right)^{m - |\alpha|}$

où les $C α$ sont des constantes, qui peuvent dépendre de $α$ .

la fonction $p (x,ξ)$ doit avoir une variation lente dans les variables d'espace $x$ . On demande explicitement que :

$\forall \ \alpha , \quad \left| \ \partial^{\alpha}_{x} \ p (x,\xi) \ \right| \ \le \ C_{\alpha} \ \left( 1 \ + \ | \xi | \ \right)^{m}$

Ces deux conditions peuvent être combinées en une seule, utilisée ci-dessous pour définire plus précisément la classe des symboles d'ordre $m$ .

[modifier] Classe des symboles d'ordre m

Soit $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ un compact, et $p (x,ξ)$ une fonction lisse de $\mathcal{C}^{\infty}(\Omega \times \mathbb{R}^n)$ . Soit $m$ un nombre réel quelconque. La classe $S^{m}(\Omega \times \mathbb{R}^n)$ des symboles d'ordre $m$ est définie par :

$S^{m}(\Omega \times \mathbb{R}^n) \ = \ \left\{ \ p(x,\xi) \ / \ \left| \ \partial^{\alpha}_{\xi} \ \partial^{\beta}_{x} \ p (x,\xi) \ \right| \ \le \ C_{\alpha, \beta, \Omega} \ \left( 1 \ + \ | \xi | \ \right)^{m - |\alpha|} \ \right\}$

pour tout $x \ \in \ \Omega$ , $\xi \ \in \mathbb{R}^n$ , et pour tous les multi-indices $α,β$ . Les $C α,β,Ω$ sont des constantes, qui peuvent dépendre de $α,β$ et $Ω$ .

Remarque : lorsque la mention du compact $Ω$ est indifférente, on note simplement : $S^{m} \ = \ S^{m}(\Omega \times \mathbb{R}^n)$

On note souvent $Ψ m$ l'ensemble des opérateurs pseudo-différentiels à symbole dans $S m$

[modifier] Propriété de pseudo-localité

Cet article est une ébauche à compléter concernant l'analyse (branche des mathématiques), vous pouvez partager vos connaissances en le modifiant.

[modifier] Support singulier d'une distribution

[modifier] Calcul symbolique

Soient $p_j, \quad j=1,2$ des éléments de $S^{m_j}\big(\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\big)$ . Alors l'opérateur $p_1(x,D)\circ p_2(x,D)$ est aussi un opérateur pseudo-différentiel, dont le symbole, qui appartient à $S^{m_1+m_2}$ est donné par une somme asymptotique dont le premier terme est $p 1 (x,ξ) p 2 (x,ξ)$

[modifier] Continuité dans les espaces de Sobolev

On note $H^s(\mathbb{R}^n)$ l'espace de Sobolev standard d'ordre s sur $\mathbb{R}^n$ Soient s et m deux nombres réels. Un opérateur pseudo-différentiel d'ordre m sur $\mathbb{R}^n$ (i.e un élément de $Ψ m$ ) est continu de $H^s(\mathbb{R}^n)$ dans $H^{s-m}(\mathbb{R}^n)$ .

[modifier] Propriété de pseudo-localité

[modifier] Bibliothèque virtuelle

MS Joshi ; Lectures on Pseudo-differential Operators. Cours disponible sur l'ArXiv.

[modifier] Bibliographie

Serge Alinhac et Patrick Gérard ; Opérateurs pseudo-différentiels et théorème de Nash-Moser, collection Savoirs actuels, EDP Sciences/CNRS éditions (1991), ISBN 2-86883-363-2. Issu d’un cours professé à l’Ecole Normale Supérieure dans le cadre du magistère de mathématiques, ce livre s’adresse aux étudiants de troisième cycle de mathématiques désireux d’acquérir une formation de base en analyse.

Jacques Chazarain & Alain Piriou ; Introduction à la théorie des équations aux dérivées partielles linéaires, Gauthier-Villars (1981), ISBN 2-04-012157-9.

Lars Hörmander ; The analysis of linear partial differential operators, Springer-Verlag (1983 à 1985). Traité de référence en quatre volumes, par le récipiendaire de la médaille Fields 1962. Le volume III est sous-titré : Pseudo-Differential Operators, et le volume IV : Fourier Integral Operators.

Lars Hörmander ; Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag (1963). Le livre qui contient les travaux pour lesquels l'auteur a obtenu la médaille Fields en 1962.

Francois Treves, Introduction to Pseudo Differential and Fourier Integral Operators, University Series in Mathematics, Plenum Publ. Co. (1981), ISBN 0306404044.

Michael E. Taylor, Pseudodifferential Operators, Princeton Univ. Press (1981), ISBN 0691082820.

Michael E. Taylor ; Partial Differential Equations II - Qualitative Studies of Linear Equations, Series: Applied Mathematical Sciences, Vol. 116, Springer-Verlag (2ème édition - 1997), ISBN 0-387-94651-9. Cet ouvrage fait suite au volume d'introduction : Partial Differential Equations - Basic Theory, Series: Texts in Applied Mathematics, Vol. 23, Springer-Verlag (2ème édition - 1999), ISBN 0-387-94654-3.

Michael E. Taylor ; Partial Differential Equations III - Nonlinear Equations, Series: Applied Mathematical Sciences, Vol. 117, Springer-Verlag (2ème édition - 1997), ISBN 0-387-94652-7.

M. A. Shubin, Pseudodifferential Operators and Spectral Theory, Springer-Verlag (2001), ISBN 354041195X.

Yu.V. Egorov & M.A. Shubin ; Elements of the Modern Theory of Partial Differential Equations, Springer-Verlag (2ème édition -1999), ISBN 3-540-65377-5. Cet ouvrage fait suite au volume d'introduction : Foundations of the Classical Theory of Partial Differential Equations, Springer-Verlag (2ème édition - 1998), ISBN 3-540-63825-3.

[modifier] Notes

↑ Cette formule est fausse lorsque les coefficients de l'opérateur différentiel ne sont pas constants.

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Sommaire

[modifier] Rappels et notations

[modifier] Opérateur différentiel

[modifier] Introduction de la transformée de Fourier

[modifier] Définition

[modifier] Application aux opérateurs différentiels

[modifier] Introduction : opérateur pseudo-différentiel à coefficients constants

[modifier] Opérateur différentiel à coefficients constants

[modifier] Définition : opérateur pseudo-différentiel à coefficients constants

[modifier] Calcul symbolique exact

[modifier] Opérateur pseudo-différentiel : cas général

[modifier] Définition

[modifier] Propriétés requises du symbole

[modifier] Classe des symboles d'ordre m

[modifier] Propriété de pseudo-localité

[modifier] Support singulier d'une distribution

[modifier] Calcul symbolique

[modifier] Continuité dans les espaces de Sobolev

[modifier] Propriété de pseudo-localité

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