Nilpotent
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En mathématiques, un élément x d'un anneau R est appelé nilpotent s'il existe un certain nombre entier positif n tel que 
.
[modifier] Exemples
Cette définition peut être appliquée en particulier aux matrices carrées. La matrice
est nilpotente parce que 
.
Dans l'anneau factoriel 
, la classe 3 est nilpotente parce que 
est congru à 0 modulo 9.
L'anneau des coquaternions contient un cône de nilpotents.
[modifier] Propriétés
Aucun élément nilpotent ne peut être une unité (excepté dans l'anneau trivial {0} qui possède seulement un élément unique 0 = 1). Tous les éléments nilpotents différents de zéro sont des diviseurs de zéro.
Une matrice n-par-n A composée d'éléments d'un corps est nilpotente si et seulement si son polynôme caractéristique est 
, ce qui est le cas si et seulement si 
.
Les éléments nilpotents d'un anneau commutatif forment un idéal ; ceci est une conséquence du théorème du binôme. Cet idéal est le nilradical de l'anneau. Chaque élément nilpotent dans un anneau commutatif est contenu dans chaque idéal premier de cet anneau, et en fait, l'intersection de tous ces idéaux premiers est égale au nilradical.
Si x est nilpotent, alors 1 - x est une unité, parce que entraîne
.
[modifier] Nilpotence en physique
Un opérateur 
qui satisfait à 
est nilpotent. La charge BRST est un exemple important en physique.
