Modèle sigma non-linéaire

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En théorie quantique des champs un modèle sigma non-linéaire désigne une théorie dans laquelle les champs fondamentaux représentent des coordonnées dans une variété riemannienne appelée espace-cible. Ensemble ils constituent un plongement depuis l'espace sur lequel ils vivent (par exemple l'espace de Minkowski) vers l'espace-cible.

[modifier] Définition

Dans le cas le plus simple on considère que l'espace sur lequel vivent les champs de la théorie est l'espace de Minkowki $\mathcal{M}\,$ . Ses coodonnées sont notées par un indice grec $\mu=0,1,2,n-1\,$ avec $n\,$ la dimension de l'espace (pas nécessairement égal à quatre).

Si on note $\mathcal{T}\,$ l'espace-cible et $\Sigma :\mathcal{M}\rightarrow\mathcal{T} \,$ le plongement alors le lagrangien de la théorie s'écrit

$\mathcal{L}={1\over 2}g(\partial^\mu\Sigma,\partial_\mu\Sigma)-V(\Sigma)$

où $V\,$ est un potentiel arbitraire. En choisissant des coordonnées $\Sigma^a\,$ sur l'espace-cible et $g_{ab}\,$ les composantes de la métrique alors on peut réécrire le lagrangien comme

$\mathcal{L}={1\over 2}g_{ab}(\Sigma) \partial^\mu \Sigma^{a} \partial_\mu \Sigma^{b} - V(\Sigma).$

Notons que si l'espace-cible est lui aussi l'espace de Minkowski alors cette action est celle d'une simple théorie des champs munie d'un potentiel $V\,$ .

[modifier] Propriétés

Si la dimension de l'espace de départ est supérieure à deux alors le modèle n'est pas renormalisable en général. Il n'est donc pas bien défini du point de vue quantique et possède donc seulement le statut de théorie effective d'une autre théorie quantique bien définie complétant celle-ci aux échelles plus petite que la courbure de l'espace-cible (cette discussion ne tient pas compte des propriétés du potentiel qui peut lui aussi briser la renormalisabilité).

[modifier] Applications

En physique nucléaire le modèle chiral, qui est phénoménologique, décrit les mésons sans faire mention des quarks (du point de vue de la théorie de l'interaction forte cela correspond à prendre la limite où les masses des quarks tendent vers zéro). C'est un modèle sigma non-linéaire dont l'espace-cible est le groupe de Lie $SU(N)\,$ où $N\,$ est le nombre de saveurs.

Ce type de théorie est aussi souvent utilisé en physique statistique et en physique théorique et ce particulièrement en théorie des cordes qui est définie perturbativement comme un modèle sigma non-linéaire renormalisable en deux dimensions.