Matrice stochastique
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Vous avez de 
En mathématiques, une matrice stochastique (aussi appelée matrice de Markov) est une matrice carrée dont chaque élément est un réel compris entre 0 et 1 et dont la somme des éléments de chaque ligne vaut 1. Cela correspond, en probabilité, à la matrice de transition d'une chaîne de Markov finie.
Voici un exemple de matrice stochastique P (dans cet exemple, la somme des éléments de chaque ligne est égale à 1; on remarque que la somme des éléments de chaque colonne est quelconque):
Si G est une matrice stochastique, alors on appelle vecteur stable pour G le vecteur h tel que:
- hG = h
Par exemple:
et
Cet exemple montre que hG = 1h. Pour des équations du type hG = βh, où β est un nombre réel , on dit que h est un vecteur propre associé à la valeur propre β. On peut donc dire que h est un vecteur propre associé à la valeur propre 1.
Une matrice stochastique est dite régulière s'il existe un entier k tel que la matrice Pk ne contient que des réels strictement positifs.
La matrice 3 × 3 précédente est régulière car :
Le théorème des matrices stochastiques stipule que, si A est une matrice stochastique régulière, alors A possède un vecteur stable t tel que, si xo est un état initial quelconque, et si xk+1 = xkA pour k = 0, 1, 2, ..... alors la chaîne de Markov {xk} converge vers t quand 
. C'est à dire:
 |
Portail des mathématiques – Accédez aux articles de Wikipédia concernant les mathématiques. |
