Médiatrice
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En géométrie plane, la médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu.
Sommaire |
[modifier] Propriétés
- Propriété 1
- Si un point appartient à la médiatrice d'un segment,
- alors ce point est à égale distance des extrémités de ce segment.
- Propriété 2 (réciproque de la propriété 1)
- Si un point est à égale distance des extrémités d'un segment,
- alors ce point appartient à la médiatrice de ce segment.
- Propriété 3
- Si une droite coupe un segment perpendiculairement en son milieu,
- alors cette droite est la médiatrice de ce segment.
- Cas du triangle
Dans un triangle, les trois médiatrices sont concourantes en un point qui est le centre du cercle circonscrit de ce triangle.
- Médiatrice et symétrie
- Segment : on peut démontrer que la médiatrice d'un segment est un axe de symétrie de ce segment.
- Rectangle ou carré : ces quadrilatères ont pour axes de symétrie les médiatrices (qui sont aussi les médianes) des côtés.
[modifier] Construction au compas
Construction d'Œnopide de Chios
Outils autorisés : règle, compas. Interdits : équerre, règle graduée.
Soit le segment [AB]. Régler le compas à un rayon quelconque, proche de la longueur AB, tracer un cercle centré sur A et un cercle de même rayon centré sur B, ces deux cercles se coupent en deux points C et D, tracer la droite (CD), c'est la médiatrice de [AB].
Démonstration : comme rayons des cercles CA = CB et DA = DB. C et D sont deux points distincts de la médiatrice.
[modifier] Plan médiateur
En Géométrie dans l'espace le plan médiateur d'un segment [A,B] ou d'un bipoint (A,B) est l'ensemble des points de l'espace qui sont équidistants de A et de B. En utilisant le produit scalaire on démontre que cet ensemble n'est autre que le plan passant par le milieu de [A,B] et orthogonal à la droite (AB).
[modifier] Hyperplan médiateur
Plus généralement, on peut définir de la même façon dans un espace euclidien l'hyperplan médiateur d'un bipoint.
[modifier] Voir aussi
[modifier] Liens internes
[modifier] Liens externes
Vocabulaire de base de la Géométrie
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