Itération de Householder
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En analyse numérique, l'itération de Householder ou méthode de Householder désigne un algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction utilisé pour les fonctions d'une variable réelle dérivables deux fois et à dérivée seconde continue (i.e. C2).
L'algorithme est itératif et de convergence cubique ; il se généralise à des fonctions Cn avec une convergence d'ordre n + 1.
Il doit son nom à son inventeur, le mathématicien Alston Scott Householder.
Sommaire |
[modifier] Énoncé
Soit f une fonction C2 et a un zéro de f. La méthode de Householder consiste à itérer :
- xk + 1 = xk − f(xk)/f′(xk) × (1 + hk)
avec
- hk = f(xk)f′′(xk)/(2f′(xk)²)
à partir d'une estimation x0 de a.
On retrouve l'itération de Halley en remplaçant (1 + hk) par 1/(1 − hk) pour hk << 1 dans la relation de récurrence ci-dessus.
[modifier] Généralisation
Les méthodes Householder
- xk + 1 = xk + (n + 1) × (1/f)(n)/(1/f)(n + 1)
généralisent la la méthode de Newton (cas n = 0) et la méthode de Halley (cas n = 1) dans le cas d'une fonction Cn + 1
Leur vitesse de convergence est d'ordre n + 2.
[modifier] Voir aussi
[modifier] Liens internes
[modifier] Liens externes
- (en) Newton's method and high order iterations, Pascal Sebah et Xavier Gourdon, 2001
- (en) Householder's Method sur le site Math World
[modifier] Bibliographie
- (en) Alston Scott Householder, Numerical Treatment of a Single Nonlinear Equation, McGraw Hill Text, New York, 1970. ISBN 0-07030-465-3
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