Intégration par parties
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En mathématiques, l'intégration par parties est une règle qui permet de transformer l'intégrale d'un produit de fonctions en d'autres intégrales, dans un but de simplification du calcul.
La formule-type est la suivante, où f et g sont deux fonctions dérivables, de dérivées continues et a et b deux réels de leur intervalle de définition.
![\int_{a}^{b} f(x) g'(x)\,dx = \left[ f(x) g(x) \right]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f'(x) g(x) \,dx](../../../math/e/8/c/e8cd8a75bf59ef6dc3837177732a30d3.png)
On peut généraliser cette formule au fonctions de classe Ck + 1
![\int_{a}^{b} f(x) g^{k+1}(x)\,dx = \left[ \sum_{n=0}^{k}(-1)^{n} f^{n}(x) g^{k-n}(x) \right]_{a}^{b} + (-1)^{k+1} \int_{a}^{b} f^{k+1}(x) g(x) \,dx](../../../math/3/a/2/3a23be684589416bd70ef98099e514bd.png)
[modifier] Exemple
Effectuons le calcul de :
grâce à une intégration par parties. Pour cela, nous posons :
, de telle sorte que 
,
, de telle sorte que 
, par exemple.
Alors il vient :
![\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} x\cos (x) \,dx = \left[ f(x) g(x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} f'(x) g(x) \,dx](../../../math/f/9/f/f9f8e9d25f0c9ade5cf0fc266ccc8071.png)
![= \left[x\sin (x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin (x) \,dx](../../../math/8/c/d/8cd71632171653bdbdad376329b56c4f.png)
![= \frac{\pi \sqrt{3}}{6} + \left[\cos (x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{3}}](../../../math/1/4/7/147270d48db8eeba77470da87ed19eda.png)
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