Hypersphère
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En mathématiques, l'hypersphère est une généralisation de la sphère à un espace euclidien de dimension supérieure à 3. Elle constitue un des exemples les plus simples de variété et la sphère de dimension n, ou n-sphère, est plus précisément une hypersurface de l'espace euclidien , notée en général .
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[modifier] Définition
Soit E espace euclidien de dimension n+1. On appelle hypersphère de centre A et de rayon le réel R>0 l'ensemble des points M pour lesquels la distance AM vaut R.
Quitte à effectuer une translation, ce qui ne change rien aux propriétés géométriques, il est possible de se ramener à une hypersphère centrée en l'origine, dont l'équation s'écrit alors dans un système de coordonnées orthonormales
Par exemple
- pour le cas n=0, l'hypersphère est constituée de deux points d'abscisses respectives R et -R.
- pour le cas n=1, l'hypersphère est un cercle
- pour le cas n=2, l'hypersphère est une sphère au sens usuel
[modifier] Propriétés
[modifier] Volume
Le volume de l'espace délimité par une hypersphère de dimension n-1 et de rayon R, qui est une boule euclidienne de dimension n, vaut :
où Γ désigne la fonction gamma. En particulier, pour n pair, Γ(n / 2 + 1) = (n / 2)!.
Le tableau suivant donne les valeurs du volume des 8 premières hypersphères de rayon 1 :
n | Volume | |
---|---|---|
Val. exacte | Val. approchée | |
1 | 2 | 2 |
2 | π | 3,14159... |
3 | 4,18879... | |
4 | 4,93480... | |
5 | 5,26379... | |
6 | 5,16771... | |
7 | 4,72478... | |
8 | 4,05871... |
Le volume d'une telle hypersphère est maximal pour n=5. Pour n>5, le volume des hypersphère est décroissant quand n augmente. En particulier, la limite du volume à l'infini est nulle :
L'hypercube circonscrit à l'hypersphère unité possède des arêtes de longueur 2 et un volume 2n ; le rapport entre les volumes de l'hypersphère et de l'hypercube inscrit est décroissant en fonction de n.
[modifier] Aire
L'aire de la surface délimité par une hypersphère de dimension n et de rayon R peut être déterminée en prenant en compte la dérivée de son volume par rapport au rayon :
Γ désigne ici aussi la fonction gamma.
Le tableau suivant donne les valeurs de l'aire des 8 premières hypersphères de rayon 1 (l'aire de l'hypersphère de dimension 1 est cependant omise) :
n | Aire | |
---|---|---|
Val. exacte | Val. approchée | |
2 | 2π | 6,28318... |
3 | 4π | 12,56637... |
4 | 2π2 | 19,73920... |
5 | 26,31894... | |
6 | π3 | 31,00627... |
7 | 33,07336... | |
8 | 32,46969... |
L'aire d'une telle hypersphère est maximal pour n=7. Pour n>7, l'aire des hypersphère est décroissant quand n augmente. En particulier, la limite de l'aire à l'infini est nulle :