Fréquence propre

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La notion de fréquence propre d'un système est fondamentale pour comprendre les phénomènes d'oscillation et de résonance.

Elle trouve son application dans la conception des horloges, des instruments de musique, mais aussi en architecture pour éviter les résonances sur les grandes structures comme les ponts.

[modifier] Mécanique

Considérons un pendule constitué d'un balancier pouvant osciller librement autour d'un axe horizontal. Dans le cas de l'oscillateur idéal, il n'y a pas de frottement. On peut modéliser le pendule par une masse ponctuelle suspendue au bout d'un fil inextensible et de masse nulle (pendule simple). Les équations auxquelles on aboutit sont identiques dans leur forme mathématique et ce modèle est suffisant pour comprendre le principe d'une horloge à balancier. Si l'on étudie le mouvement du balancier dans le cas du pendule réel, le théorème du moment cinétique donne :

$d\mathbf{L}/dt = \mathbf{M}_{/\Delta}$

L : moment cinétique du balancier
M : moment des forces par rapport à l'axe Δ

avec

$\mathbf{L} = \sum_i \mathbf{r}_i \wedge \mathbf{p}_i = I \omega \mathbf{u}_\Delta$

I ( = ∑ m_i r_i²) est le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe Δ, ω, sa vitesse angulaire de rotation et $\mathbf{u}_\Delta$ est le vecteur unitaire colinéaire à Δ.

Le moment des forces par rapport à l'axe Δ, en l'absence de frottements, se ramène au moment du poids du balancier, on a :

M = r_G ^ P = - a m g sin θ u_Δ

On obtient alors l'équation $I \ddot\theta + m g a \sin \theta = 0$ , d'où $\ddot\theta + \omega_0^2 \sin \theta = 0$ avec $\omega_0^2 = m g a / I$ .

L'étude d'un point matériel suspendu au bout d'un fil de longueur l donnant $\ddot\theta + \omega_0^2 \sin \theta = 0$ avec $\omega_0^2 = g / l$ , on obtient une équation qui est mathématiquement identique à celle que l'on obtient dans le cas du mouvement du balancier, justifiant ainsi de se ramener au cas d'une masse ponctuelle suspendue au bout d'un fil pour comprendre le principe des horloges à balancier.

Dans le cas idéal, on se limite aux petites oscillations du pendule au voisinage de sa position d'équilibre, soit sin θ ~ θ, ce qui donne :

$\ddot\theta + \omega_0^2 \theta = 0$

[modifier] Electronique

L'exemple le plus courant est celui de la montre à quartz. Pour comprendre le principe d'une horloge à quartz, il faut étudier son composant essentiel : une lamelle de quartz placée entre deux électrodes. Une lamelle de quartz soumise à une compression mécanique voit apparaître une tension à ses bornes et vice-versa (voir piézoélectricité). Le quartz est équivalent à un circuit L, R, C₁ série (L, R et C₁ ne dépendent que des caractéristiques physiques du quartz) placé en parallèle avec une capacité C₂ qui correspond à la capacité créée par les deux électrodes qui enserrent le morceau de quartz. Dans le cas idéal, on suppose qu'il n'y a pas de perte d'énergie, c'est-à-dire que

R ~0

Le circuit « idéal » est alors un simple circuit L, C où la capacité C équivalente à C₁ et C₂ en série vérifie :

1/C = 1/C₁ + 1/C₂

L'équation correspondant à cette situation s'écrit :

I" + ω₀² I = 0

pour l'intensité et

U" + ω₀²U = 0

pour la tension aux bornes de L, C

ω₀ = (L C)^-1/2

[modifier] Synthèse

Les solutions des équations pour l'horloge à balancier aussi bien que pour l'horloge à quartz sont de la même forme :

θ = θ₀ sin(ω₀ t + φ)

pour le pendule mécanique « idéal » et

I = I₀ sin(ω₀ t + φ)

U = U₀ sin(ω₀ t + φ)

pour un circuit L, C sans perte énergétique. La période est T = 2 π /ω₀. La fréquence propre des oscillations du système ω0 ne dépend pas de leur amplitude mais uniquement des caractéristiques de l'oscillateur (et de g dans le cas du pendule) : 'ν0 = ω₀ / 2 'π