Force centrale en 1/r⁵
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Soit une trajectoire ( T) , circulaire, de centre C , de rayon a ,d'un point matériel P , de masse m , attiré par un point O de la circonférence, par une force centrale. En utilisant la formule de chute de Torricelli-Newton ( cf Exégèse des Principia), montrer que la loi de force centrale est en 1/ OP^5.
[modifier] Démonstration
On calcule la limite du rapport 2RQ/ (aire OPQ)² , selon l'expression fondamentale des Principia ( cf Exégèse des Principia).
A la limite , la Puissance de R par rapport au cercle (T) s'écrit :
RP² = RQ.RQ' ~ RQ. OP .
D'autre part l'aire s'évalue par la podaire p comme 1/2 .p. RP.
Donc (aire)² = 1/4. p² .RP ²
Donc F ~ 1/(p².r).
Or p = r .sin (theta) ; et r = 2a.sin (theta).
Donc p.2a = r² et donc F ~1/r^5 . CQFD.
La démonstration par les Formules de Binet -C²u²( u+u") avec u(theta)~ 1/cos(theta) conduit bien au même résultat, de façon algorithmique , sans réfléchir. Newton connaissait-il cette méthode ? Beaucoup en doutent ( cf Principia et Calculus).
[modifier] Voir aussi
- Force centrale
- Mouvement à force centrale
- Formules de Binet
- Exégèse des Principia
- Théorème de Sciacci
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