E8

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En mathématiques, $E_8\,$ est le plus grand groupe de Lie complexe de type exceptionnel. Son algèbre de Lie est notée $\mathfrak{e}_8$ .

$E_8\,$ est rang 8 et de dimension 248. Il est simplement connexe et son centre est trivial.

[modifier] Formes réelles

En plus du groupe de lie complexe $E_8\,$ , de dimension complexe 248 (donc de dimension réelle 496), il existe trois formes réelles de ce groupe, toutes de dimension réelle 248. Les plus simples sont les formes compactes $E_{8\left(-248\right)}\,$ et déployées (non-compacte maximale ou encore split en anglais) $E_{8\left(8\right)}\,$ et il en existe une troisième, notée $E_{8\left(-24\right)}\,$ .

[modifier] Constructions

On peut construire la forme compacte du groupe $E_8\,$ comme le groupe d'automorphismes de l'algèbre de lie $\mathfrak{e}_8$ correspondante. Cette algèbre possède $\mathfrak{so}(16)\,$ comme sous-algèbre de dimension 120 et on peut se servir de celle-ci pour décomposer la représentation adjointe comme

$\mathfrak{e}_8 = \mathfrak{so}(16) \oplus \textstyle{S}_{16}^+\,$

où $S_{16}^+\,$ est l'une des deux représentations spinorielles, de type Majorana-Weyl du groupe $\operatorname{Spin}\left(16\right)\,$ dont $\mathfrak{so}\left(16\right)\,$ est l'algèbre de Lie.

Si on appelle $J_{ij}\,$ un jeu de générateurs pour $\mathfrak{so}\left(16\right)\,$ et $Q_a\,$ les 128 composantes de $S_{16}^+\,$ alors on peut écrire explicitement les relations définissant $\mathfrak{e}_8$ comme

$\left[J_{ij}, J_{k\ell}\right] = \delta_{jk}J_{i\ell} - \delta_{j\ell}J_{ik} - \delta_{ik}J_{j\ell} + \delta_{i\ell}J_{jk}\,$

ainsi que

$\left[J_{ij}, Q_a\right] = \frac14 \left(\gamma_i\gamma_j - \gamma_j\gamma_i\right)_{ab}Q_b\,$ ,

qui correspond à l'action naturelle de $\operatorname{so}(16)\,$ sur le spineur $S_{16}^+\,$ . Le commutateur restant (qui est bien un commutateur et non pas un anticommutateur) est défini entre les composantes du spineur comme

$\left[Q_a, Q_b\right] = \gamma^{[i}_{ac}\gamma^{j]}_{cb}J_{ij}\,$ .

A partir de ces définitions on peut vérifier que l'identité de Jacobi est satisfaite.

[modifier] Représentations

$\mathfrak{e}_8$ se distingue des autres algèbres de Lie de dimension finie par le fait que sa plus petite représentation non-triviale est la représentation adjointe.

La représentation fondamentale de $E_8\,$ est de dimension 248.

[modifier] Géométrie

La forme réelle compacte de $E_8\,$ peut être vue comme le groupe d'isométrie d'une variété riemannienne de dimension 128 appelée plan projectif octooctonionique. Ce nom vient de ce qu'il peut être construit en utilisant une algèbre qui est construite comme produit tensoriel des octonions avec eux-mêmes. Ce type de construction est analysé en détail par Hans Freudenthal et Jacques Tits dans leur construction du carré magique

[modifier] En physique

Dans le cadre des théories de grande unification en physique des particules, le groupe $E_8\,$ est parfois considéré comme groupe de jauge candidat dans la mesure ou il contient d'une façon naturelle une série d'autres groupes de grande unifications souvent considérés. On peut le voir sous la succession d'inclusions

$E_8 \leftarrow \operatorname{SO}(10) \leftarrow \operatorname{SU}(5) \leftarrow \operatorname{SU}(3)\times\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{U}(1)\,$

Par ailleurs, le groupe $E_8\,$ apparait fréquemment en théorie des cordes et en supergravité. Dans la théorie des cordes hétérotiques une formulation fait apparaître $\textstyle{E_8}\times\textstyle{E_8}$ (sous forme compacte) comme groupe de jauge. Par ailleurs, lorsque la supergravité maximale est compactifiée sur un tore de dimension 8 alors la théorie résultante en dimension trois possède une symétrie globale $E_8\,$ (c'est-à-dire la forme déployée, ou maximalement non-compacte). Il a été par la suite suggéré^{réf. nécessaire} qu'une version discrète, notée $E_8\left(\mathbb{Z}\right)\,$ , de ce groupe serait une symétrie, appelée dans ce contexte U-dualité, de la théorie M.

[modifier] Algèbre

[modifier] Diagramme de Dynkin

[modifier] Système de racines

Dans la base formée par les racines simples $\mathfrak{so}(16)$ , le système de racines de $E_8\,$ est formé d'une part de toutes les permutations de

$\left(\pm 1, \pm 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0\right)\,$

qui constitue le système de racines de $\mathfrak{so}(16)$ et possède $4\times\begin{pmatrix}8\\2\end{pmatrix} = 112\,$ éléments (il faut rajouter les 8 générateurs du Cartan pour obtenir 120 qui est la dimension de $\mathfrak{so}\left(16\right)\,$ ).

Par ailleurs on doit ajouter à cela les 128 poids de la représentation spinorielle $S_{16}^+$ de $\mathfrak{so}\left(16\right)$ . Toujours dans la même base, ceux-ci sont représentés par les vecteurs

$\left(\pm\frac12, \pm\frac12, \pm\frac12, \pm\frac12, \pm\frac12, \pm\frac12, \pm\frac12, \pm\frac12\right)\,$

tels que la somme de toutes les coordonnées soit paire. Ils sont au nombre de $\frac12 \times 2^8 = 128\,$ .

On obtient donc $112+128=240\,$ racines, toutes de multiplicité 1. Par abus de langage on considère aussi parfois le vecteur nul comme une racine associée à la sous-algèbre de Cartan. Comme $E_8\,$ est de rang 8, la racine nulle est alors de multiplicité 8. Ainsi au final on a bien décrit les 248 générateurs de l'algèbre $\mathfrak{e}_8$ .

[modifier] Matrice de Cartan

$\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

[modifier] Voir aussi

v · d · é

Les 5 Groupes de Lie exceptionnels

E₆ • E₇ • E₈ • F₄ • G₂

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