Distribution de Dirac
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L'exemple canonique de distribution est la distribution de Dirac, qu'on peut s'imaginer, de façon informelle, comme une fonction de R dans R qui vaudrait zéro partout, sauf à l'origine, et dont l'intégrale sur R vaudrait 1 (en réalité, aucune fonction ordinaire n'a ces propriétés).
Cette distribution sert en physique à décrire des événements ponctuels. Pour les besoins du formalisme quantique, Dirac a introduit un objet singulier, qu'on appelle aujourd'hui impulsion de Dirac, notée δ(t). En outre, cette impulsion représente un signal de durée théoriquement nulle et d'énergie finie.
- Le delta de Dirac (appelé aussi fonction delta de Dirac) est la distribution qui envoie une fonction test sur . C'est la dérivée de la fonction de Heaviside, H définie par H(x) = 0 si x < 0 et par H(x) = 1 si . C'est une mesure discrète de probabilité : celle dont toute la masse est concentrée à l'origine.
- La dérivée du delta de Dirac est la distribution qui envoie une fonction test sur . Cette dernière distribution est notre premier exemple de distribution qui ne soit ni une fonction ni une mesure.
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[modifier] Propriétés
[modifier] convolution
Soit une fonction continue, on a alors :
La distribution de Dirac est donc un élément neutre pour l'opération de convolution, notée
[modifier] transformée de Fourier
La transformée de Fourier de la distrution de Dirac est la fonction constante égale à un
Ce qui est utilisé en traitement du signal notamment. On dit qu'un signal correspondant à une distribution de Dirac a un spectre blanc. C'est à dire que chaque fréquence est présente avec une intensité identique. Cette propriété permet d'analyser la réponse fréquentielle d'un système sans avoir à balayer toute les fréquences.
[modifier] Distribution de Dirac en dimension supérieure
On peut généraliser la définition de la distribution de Dirac en dimension par
avec .