Dimension d'un espace vectoriel

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En mathématiques, la dimension d'un espace vectoriel $E$ est le cardinal (c'est-à-dire le nombre de vecteurs) de toute base de $E$ . Elle est parfois appelée la dimension de Hamel ou la dimension algébrique à distinguer d'autres types de dimension.

Toutes les bases d'un espace vectoriel, sont de même cardinal (voir théorème de la dimension pour les espaces vectoriels) et ainsi la dimension d'un espace vectoriel est définie de manière unique. La dimension d'un espace vectoriel $E$ sur un corps $K$ peut être notée $d i m K (E)$ ou $d i m E$ . (lire « dimension de $E$ sur $K$ ».) Certains notent cette dimension $[E : K]$ .

$E$ est dit de dimension finie si la dimension de $E$ est finie.

[modifier] Exemples

L'espace vectoriel $\mathbb{R}^3$ admet $\left((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\right)$ comme base et ainsi ${\rm dim}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}^3)=3$ . Plus généralement, ${\rm dim}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}^n)=n$ . Plus généralement encore, ${\rm dim}_{\mathbb{K}}(\mathbb{K}^n)=n$ .

L'ensemble des nombres complexes peut être considéré à la fois comme un $\mathbb R$ -espace vectoriel et comme un $C$ -espace vectoriel; nous avons ${\rm dim}_{\mathbb{R}}(\mathbb{C})=2$ et ${\rm dim}_{\mathbb{C}}(\mathbb{C})=1$ . Ainsi la dimension dépend du corps de base.

Le seul espace vectoriel de dimension 0 est {0}, espace vectoriel formé que d'un seul vecteur, son élément neutre pour l'addition.

L'espace vectoriel des matrices à $n$ lignes et $p$ colonnes à coefficients dans un corps $\mathbb{K}$ , est de dimension $n\cdot p$ . La famille $(E i j)$ constituée des matrices ayant un 1 à la $i$ ème ligne et $j$ ème colonne et des zéros partout ailleurs est une base de cet espace vectoriel.

L'espace vectoriel des polynômes à coefficients dans un corps $\mathbb{K}$ de degré inférieur à $n$ est un espace vectoriel de dimension $n + 1$ .

[modifier] Propriétés

Si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ , alors ${\rm dim}(F)\leq {\rm dim}(E)$ .

Pour démontrer que deux espaces vectoriels de dimension finie sont égaux, on utilise souvent le théorème suivant: Si $E$ est un espace vectoriel de dimansion finie et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ tels que $dim F = dim E$ , alors $E = F$ .

Deux espaces vectoriel sur $\mathbb{K}$ sont isomorphes en dimension finie si et seulement si ils ont même dimension.

Toute application bijective entre leurs bases peut être prolongée de manière unique en un isomorphisme entre les deux espaces vectoriels. Si $A$ est un ensemble, un espace vectoriel de dimension $| A |$ sur $\mathbb{K}$ peut être construit de la manière suivante: on considère l'ensemble $\mathbb{K}^{(A)}$ de toutes les fonctions $f:A\rightarrow \mathbb{K}$ telles que $f (a) = 0$ pour un nombre fini d'éléments $a$ de $A$ . Ces fonctions peuvent être additionnées et multipliées par un scalaire de $\mathbb{K}$ , et nous obtenons le $\mathbb{K}$ -espace vectoriel recherché.

Dans le cas de la dimension infinie, la démonstration s'applique encore s'il existe des bases de même cardinaux. En revanche, la continuité devient un critère important, et rien ne garantie que l'isomorphisme sera continu.

Un important résultat sur la dimension concernant les applications linéaires est le théorème du rang.

Si $L / K$ est une extension de corps, alors $L$ est un espace vectoriel particulier sur $K$ .

De plus, tout $L$ -espace vectoriel $E$ est aussi un $K$ -espace vectoriel. Les dimensions sont liées par la formule:

${\rm dim}_K(E)={\rm dim}_K(L)\cdot {\rm dim}_L(E)$ .

En particulier, tout espace vectoriel complexe de dimension $n$ est un espace vectoriel réel de dimension $2 n$ .

Certaines formules simples donnent la dimension d'un espace vectoriel en utilisant le cardinal du corps de base et le cardinal de l'espace vectoriel lui-même. Si $E$ est un espace vectoriel sur un corps $K$ alors, en notant $dim E$ la dimension de $E$ , nous avons:

si $dim E$ est finie, alors $| E | = | K | dim E$ .

si $dim E$ est infinie, alors $| E | = max(dim E, | K | )$ .

[modifier] Généralisation

Il est possible de voir un espace vectoriel comme un cas particulier d'un matroïde, et pour ce dernier il y a une notion bien définie de dimension. La longueur d'un module et le rang d'un groupe abélien ont tous deux plusieurs proprétés similaires à la dimension des espaces vectoriels.