Crochet de Poisson

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En mécanique hamiltonienne, on définit le crochet de Poisson de deux observables A et B, i.e. de deux fonctions sur l'espace des phases, par :

$\{A,B\} \ = \ \sum_{i=1}^N \ \left[ \ \frac{\partial A}{\partial q^i} \ \frac{\partial B}{\partial p_i} \ - \ \frac{\partial A}{\partial p_i} \ \frac{\partial B}{\partial q^i} \ \right]$

où les 2N variables canoniques sont :

les N coordonnées généralisées $\{q^i \}_{i=1, \dots, N}$ .

les N moments conjugués $\{ p_i \}_{i=1, \dots, N}$ .

Sommaire

1 Propriétés
2 Équations canoniques
3 Évolution d'une observable quelconque
- 3.1 Cas général
- 3.2 Cas de l'énergie totale
4 Quantification canonique
5 Articles connexes
6 Bibliographie

[modifier] Propriétés

Le crochet de Poisson est antisymétrique :

$\{A,B\} \ = \ - \ \{B,A\}$

Le crochet de Poisson satisfait à l'identité de Jacobi :

$\{A,\{B,C\}\} \ + \ \{B,\{C,A\}\} \ + \ \{C,\{A,B\}\} \ = \ 0$

On a les relations pour les variables canoniques :

$\{q^j,p_k\} \ = \ \delta^j_k$

[modifier] Équations canoniques

Soit $H (q i, p i)$ le hamiltonien du système considéré. Les équations canoniques de Hamilton se réécrivent en terme du crochet de Poisson sous la forme :

$\dot{q}^j \ = \ \{q^j,H\} \ = \ \frac{\partial H}{\partial p_j}$

et :

$\dot{p}_j \ = \ \{p_j,H\} \ = \ - \ \frac{\partial H}{\partial q^j}$

[modifier] Évolution d'une observable quelconque

[modifier] Cas général

Soit une observable $A$ , c'est à dire une fonction sur l'espace des phases dépendant des moments et des coordonnées généralisées. Il résulte des relations précédentes que :

$\frac{dA}{dt} \ = \ \frac{\partial A}{\partial t} \ + \ \{A,H\}$

où $\ \frac{\partial A}{\partial t}$ désigne la dérivée partielle de $A$ par rapport à une eventuelle dépendance explicite de $A$ par rapport au temps.

[modifier] Cas de l'énergie totale

On obtient pour l'énergie totale du système :

$\frac{dH}{dt} \ = \ \frac{\partial H}{\partial t}$

puisque ${H, H} = 0$ par antisymétrie.

[modifier] Quantification canonique

L'intéret du crochet de Poisson est qu'il permet de passer facilement à la quantification dans le formalisme algébrique de Heisenberg de la mécanique quantique. Il suffit en général de faire une substitution :

$\{.,.\} \ \to \ \frac{1}{i\hbar} \ [.,.]$

où $[.,.]$ désigne le commutateur, pour obtenir les relations de commutation des opérateurs dans le formalisme de Heisenberg à partir des crochets de Poisson des observables classiques. La meme strategie est applicable à la quantification d'un champ classique.

[modifier] Articles connexes

[modifier] Bibliographie

R. Campbell, La mécanique analytique, Coll. Que Sais-Je ?, Presses Universitaires de France.

L. Landau, E. M. Lifshitz, Cours de Physique Théorique, tome 1 : Mécanique, Editions Mir.

A. Messiah, Mécanique Quantique, Dunod.

L. Landau et E. M. Lifshitz, Cours de Physique Théorique, tome 3 : Mécanique Quantique, Editions Mir.

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Catégories : Analyse à plusieurs variables • Mécanique classique