Covecteur

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Un covecteur (aussi appelé vecteur dual, vecteur covariant ou 1-forme) est une forme linéaire définie sur un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel $V \,$ , c'est-à-dire une application linéaire $\phi\,$ de $V\,$ vers un corps $\mathbb{K}$ .

Si $\phi\,$ est un covecteur, alors il est une forme linéaire qui satisfait à :

$\forall (X,Y) \in V^2 \quad \forall (\lambda,\mu) \in \mathbb{K}^2 \quad \phi(\lambda X + \mu Y) = \lambda \cdot \phi(X) + \mu \cdot \phi(Y)$

L'ensemble $V^* \,$ des formes linéaires, auquel appartiennent donc les covecteurs, est appelé espace dual, et est lui-même un K-espace vectoriel.

$V^*=\hom(V,\mathbb{K})$

Ainsi, si $\phi\,$ et $\psi\,$ sont des covecteurs :

$(a\phi + b\psi)(X) = a\cdot \phi(X) + b\cdot \psi(X)$

Si l'espace $V$ est de dimension finie $n$ , alors l'espace dual $V^*\,$ , isomorphe à $V$ , est lui aussi de dimension $n$ .

$\dim(V) \in \N \Leftrightarrow \dim(V) = \dim(V^*)$

On note parfois $\langle\phi,X\rangle$ pour $\phi(X)\,$ . Cette notation est appelée crochet de dualité.

[modifier] Exemple

Soit $X\,$ un vecteur colonne à $n \in \N$ composantes :

$X = \begin{bmatrix} x^1 \\ x^2 \\ \vdots \\ x^n\end{bmatrix}$

alors son covecteur ou vecteur dual est un vecteur ligne à n composantes :

$\phi = \begin{bmatrix} \phi_1 & \phi_2 & \cdots & \phi_n\end{bmatrix}$

et l'application est la multiplication d'une matrice ligne $(1, n)$ avec une matrice colonne $(n,1)$ :

$\phi(X) = \begin{bmatrix} \phi_1 & \phi_2 & \cdots & \phi_n\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x^1 \\ x^2 \\ \vdots \\ x^n\end{bmatrix} = \sum_{i=0}^n \phi_i X^i$