Courbe tracée sur une surface
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Une courbe tracée sur une surface Σ est une application différentiable d'image c(I) contenue dans Σ.
[modifier] Exemples remarquables
- Sur la sphère unité de R3, un grand cercle est la trace sur S2 d'un plan vectoriel. C'est la courbe tracée sur S2 donnée par :
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- où V et W sont deux vecteurs unitaires orthogonaux.
- Sur une surface Σ, une géodésique est une courbe c tracée sur une surface dont l'accélération c''(t) est orthogonal à Σ. Les grands cercles sur les sphères sont des géodésiques. Ce sont les seules.
- A Paques, les artistes dessinnent sur des œufs. Les motifs dorés sont des courbes tracées sur la coquille.
- Plus généralement, les dessins sur les objets consistent en des remplissages de domaines délimités par des courbes tracées sur la surface de l'objet !
[modifier] Propriétés métriques
L'utilisation de courbes tracées sur une surface X permet de faire le lien entre courbure d'une courbe et seconde forme fondamentale II de X, objet mathématique permettant le calcul des courbures principales de X.
Si c est une courbe tracée sur la surface, et P = c(0), v = c'(0), alors IIP(v) est la composante normale à X de l'accélération c''(0) :
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- IIP(v) = < c''(0) | ν(P) >
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