Constante d'Euler-Mascheroni
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La constante d'Euler-Mascheroni est une constante mathématique d'utilisations multiples en théorie des nombres. Elle se définit comme limite de la différence entre la série harmonique et le logarithme naturel
qu'on peut condenser en :
La démonstration de l'existence d'une telle limite peut se faire par application de la méthode de comparaison série-intégrale.
Sommaire |
[modifier] Valeur approchée
Les 100 premières décimales de cette constante sont
- γ ≈ 0,5772156649015328606065120900824024310421593359399235988057672348848677267776646709369470632917467495
En 1781, Leonhard Euler avait obtenu les 16 premières décimales grâce au procédé de sommation d'Euler-Mac Laurin. Pour sa part, Lorenzo Mascheroni détermina 32 décimales pour son ouvrage Geometria del compasso qui contribua à faire connaître la constante.
À ce jour, on ignore si la constante d'Euler-Mascheroni est ou non un nombre rationnel.
[modifier] Formules diverses
Cette constante intervient dans nombre de formules :
- Intégrales :
- Fonction Gamma :
- Fonction Exponentielle intégrale :
- Fonction Psi :
En particulier, 
et 
[modifier] Généralisation : Série de constantes γ(m)
De manière plus générale, on peut définir les constantes suivantes :
. On constate que γ(0) = γ, la constante d'Euler.
[modifier] Calcul numérique de γ
Le calcul numérique de γ est un moyen pédagogique simple pour se sensibiliser aux problèmes de propagation d'erreur d'arrondi. En simple précision, pour 100 000 points, en sommant dans l'ordre naturel, on obtient une erreur sur la 4ème décimale, erreur beaucoup plus faible si on fait cette somme dans l'ordre inverse (du plus petit au plus grand), ou si on utilise l'algorithme de Kahan (cf. Somme (algorithmique)). Pour 1 000 000 de points, la divergence atteint la 2ème décimale dans le sens naturel, et la 4ème décimale dans le sens inverse ; par contre, par la méthode de Kahan, on a atteint les 6 décimales exactes.
