Code de Goppa

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En mathématiques, le code de Goppa, aussi appelé code de géométrie algébrique, est une généralisation d'un code linéaire construit à partir d'une courbe algébrique $C$ sur un corps fini $F$ . De tels codes ont été proposés par V. D. Goppa. Certains de ces codes ont d'intéressantes propriétés extrémales.

Sommaire

1 Détails
- 1.1 Notions préliminaires
- 1.2 Définition du code de Goppa
2 Utilisation
3 Bibliographie

[modifier] Détails

[modifier] Notions préliminaires

Posons $C$ une courbe algébrique non-singulière. Fixons $n$ points de $C$ :

$P_1, P_2, ..., P_n~$

et soit $D$ , un diviseur de $C$ , sur $F$ .

Il existe un sous-espace de dimension finie $L (D)$ du corps de fonctions de $C$ , qui est constitué des fonctions rationnelles $f$ sur $C$ avec des zéros et pôles sujets à $D$ . Autrement dit, $D$ qui est une somme formelle de points de $C$ sur la clôture algébrique de $F$ , donne une borne pour le diviseur, faite de zéros et de pôles de $f$ , énumérés avec la multiplicité appropriée.

[modifier] Définition du code de Goppa

Alors, pour une base fixe:

$f_1, f_2, ..., f_k~$

pour $L (D)$ sur $F$ , le code de Goppa correspondant dans $F$ est généré sur $F$ par les vecteurs

$f_i(P_1), f_i(P_2), ..., f_i(P_n)~$

De façon équivalente, on peut définir le code de Goppa comme l'ensemble de tous les vecteurs

$f(P_1), f(P_2), ..., f(P_n)~$

où $f$ est dans $L (D)$ .

[modifier] Utilisation

Les codes de Goppa ont fait une apparition marginale en cryptographie dans le cryptosystème de McEliece.

Généralements, les codes de Goppa sont considérés comme de « bons » codes linéaires puisqu'ils permettent de corriger jusqu'à ${n^k} \choose {\log_2 n}$ erreurs. Aussi, ils se décodent efficacement, par les algorithmes d'Euclide et de Berlekamp-Massey, en particulier.