Calcul stochastique
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Le calcul stochastique est l’étude des phénomènes aléatoires dépendant du temps. À ce titre, il est une extension de la théorie des probabilités.
[modifier] Applications
Le domaine d’application du calcul stochastique comprend :
- la mécanique quantique,
- le traitement du signal,
- la chimie,
- les mathématiques financières,
- et même la musique.
Il est aussi utilisé dans les prévisions de comportement du vent et des courants aériens.
[modifier] Processus aléatoires
Un processus aléatoire X est une famille de variables aléatoires indexée par un sous-ensemble de 
ou 
, souvent assimilé au temps (voir aussi Processus stochastiques). C'est donc une fonction de deux variables : le temps et l'état du monde ω. L'ensemble des états du monde est traditionnellement noté Ω. L'application qui à t associe X(ω,t) est appelée trajectoire du processus. Le mouvement brownien est un exemple particulièrement simple de processus aléatoire indexé par . Il peut être défini comme l'unique processus Wt à accroissement gaussien tel que la corrélation entre Wt et Ws soit min(t,s). On peut également le voir comme la limite d'une marche aléatoire lorsque le pas de temps tend vers zéro.
[modifier] Filtrations
Une filtration Ft, 
est une famille de sous-tribus emboîtées de Ω, qui peut s’interpréter comme l’information disponible qui évolue au cours du temps. à compléter
[modifier] Espérance conditionnelle selon une filtration
[modifier] Processus d'Itō
Le processus d'Itō, d'après le nom de son inventeur Kiyoshi Itō, traite des opérations mathématiques dans un processus stochastique. Le plus important est l'intégrale stochastique d'Itō.
Avant le calcul, notons que :
- Les majuscules telles que X denotent les variables aléatoires.
- Les majuscules avec en indice un t (par exemple Bt) denotent un processus stochastique qui n'est pas un ensemble de variables aléatoire indexé par t.
- Un petit d à gauche d'un processus (par exemple dBt) signifie un changement infinitésimal dans le processus aléatoire qui est une variable aléatoire.
L'intégrale stochastique d'un processus Xt par rapport à un processus Bt est décrite par l'intégrale :
et est définie comme la limite en probabilité des sommes correspondantes de la forme :
Un point essentiel lié a cette intégrale est le lemme d'Itô.
La somme comme le produit de variables aléatoires est définie dans la théorie des probabilités. La somme implique une convolution de la fonction de densité des probabilités, et la multiplication est une addition répétée.
[modifier] Processus usuels
[modifier] Martingales exponentielles
[modifier] Intégrale de Wiener et intégrale stochastique
à compléter
Soit Z le mouvement brownien standard défini sur l’espace probabilisé (Ω,A,F,P) et σ un processus adapté à F. On suppose par ailleurs que σ vérifie :
.
Alors, l’intégrale stochastique de σ par rapport à Z est la variable aléatoire :
.
[modifier] Lemme d’Itô
Soit x un processus stochastique tel qu'on ait dx = a*dt + b *dz où z est un processus de Wiener standard.
Alors d'après le lemme d'Ito, on a pour une fonction G = G(x,t)
[modifier] Equations différentielles stochastiques
Une équation différentielle stochastique (EDS) est la donnée d’une équation du type dX = μ(X,t)dt + σ(X,t)dWt, où X est un processus aléatoire inconnu, que l’on appelle communément équation de diffusion. Intégrer l’EDS, c’est trouver l’ensemble des processus vérifiant la diffusion entiere.
[modifier] Processus d’Orstein-Uhlenbeck
Le processus d'Ornstein-Uhlenbeck est un processus stochastique décrivant (entre autres) la vitesse d'une particule dans un fluide, en dimension 1.
On le définit comme étant la solution Xt de l'équation différentielle stochastique suivante : 
, où Bt est un mouvement brownien standard, et avec X0 une variable aléatoire donnée. Le terme dBt traduit les nombreux chocs aléatoires subis par la particule, alors que le terme − Xtdt représente la force de frottement subie par la particule.
La formule d'Itô appliquée au processus etXt nous donne : 
, soit, sous forme intégrale : 
Par exemple, si X0 vaut presque sûrement x, la loi de Xt est une loi gaussienne de moyenne xe − t et de variance 1 − e − 2t, ce qui converge en loi quand t tend vers l'infini vers la loi gaussienne centrée réduite.
[modifier] Problèmes de contrôle optimal
[modifier] Méthodes de simulation
[modifier] Méthode de Monte-Carlo
Les méthodes de Monte-Carlo reposent sur la loi des grands nombres : en répétant un grand nombre de fois une expérience, de façon (théoriquement) indépendante, on obtient une approximation de plus en plus fiable de la vraie valeur de l'espérance du phénomène observé.
De telles méthodes sont notamment utilisées en finance pour la valorisation d’options pour lesquelles il n’existe pas de formule fermée, mais uniquement des approximations numériques.
[modifier] Simulation par arbres recombinants
[modifier] Articles connexes
- Chaîne de Markov
- Modèle de Markov caché
- Processus de décision markovien
- Mouvement brownien
- Physique statistique
- Modèle des urnes d'Ehrenfest
[modifier] Bibliographie
- Nathalie Bartoli et Pierre Del Moral, Simulation & algorithmes stochastiques, Cépaduès, 2001 (ISBN 2-85428-560-3)
- Mario Lefebvre, Processus stochastiques appliqués, Hermann, 2006 (ISBN 2-7056-6561-7)
- Nathalie Bartoli et Pierre Del Moral, Calcul stochastique et modèles de diffusions, Dunod, 2006 (ISBN 2-10-050135-6)
- Bassel Solaiman, Processus stochastiques pour l'ingénieur, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 2006 (ISBN 2-88074-668-X)
[modifier] Notes
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