Calcul de la racine énième d'un nombre
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Cet article est une ébauche à compléter concernant l'analyse (branche des mathématiques), vous pouvez partager vos connaissances en le modifiant. |
La racine énième (ou racine n-ième) d'un nombre d'un nombre réel positif A est la solution positive à l'équation x n = A.
Pour un entier n, il y a n solutions complexes distinctes à cette équation si A > 0, mais une seule est positive.
Il s'agit en fait de calculer
- .
Il existe une suite mathématique qui converge très rapidement, et permet de trouver :
- soit x0 un nombre de départ ;
- calculer la suite récurrente jusqu'à obtenir la précision voulue.
Pour calculer la racine carrée, on remplace n par 2 :
Pour de grands n cependant, la méthode est bien moins efficace, puisqu'elle demande le calcul de à chaque itération de la suite.
[modifier] Parité et nombre complexe
La solution de x n = A est un nombre réel si x est positif ou si n est impair.
Si x est négatif et que n est pair, la solution est un nombre complexe non réel.
[modifier] Explication à partir de la méthode de Newton
- Soit x0 un nombre de départ ;
- calculer la suite récurrente jusqu'à atteindre la précision voulue.
En effet, la recherche d'une racine nième peut être ramenée à la recherche du zéro de la fonction f(x) = xn − A, dont la dérivée est et la règle d'itération :
[modifier] Nombres négatifs
Dans le cas où A est négatif, sa racine n-ième est alors la solution réelle (négative) de cette même équation (x n = A).
Dans le cas où n est pair, cette solution n'existe pas !
Dans le cas contraire, cela revient à calculer . Dans ce cas, -A est positif (puisque A est négatif) et on peut calculer avec la méthode décrite ci-dessus.