Équations de Lagrange

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Les équations de Lagrange sont obtenues à partir de la notion d'action (physique) (qui a la dimension d'une énergie fois un temps).

En mécanique, elles permettent d'obtenir très facilement les équations du mouvement d'un système complexe sans avoir à utiliser la notion de force. Pour un système à $N$ degrés de liberté décrit par $N$ coordonnées généralisées $q i$ , on exprime le lagrangien $L$ à partir des coordonnées généralisées $q i$ et de leurs dérivées par rapport au temps $\dot{q}_{i}$ comme la différence entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle. Comme le temps peut figurer explicitement dans le lagrangien, il dépend au final de $2 N + 1$ variables.

Lorsqu'aucun effort extérieur n'est appliqué sur le système, les équations de Lagrange ont la forme suivante :

$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} - \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = 0$

[modifier] Efforts extérieurs

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Lorsqu'une force conservative $F c$ dérivant d'un potentiel V est appliquée au système, l'équation ci-dessus reste valable, on doit juste modifier le lagrangien $L$

$L = T - (E p + V)$ où $T$ est l'énergie cinétique, $E p$ l'énergie potentielle (de gravité ou/et élastique) et $V$ l'énergie potentielle associée au champs de force $V = x T F c$ , tel que $F_c=-\frac{\partial V}{\partial q_{i}}$

Lorsqu'une force non-conservative $F$ est appliquée sur le système au point $P = (x, y, z)$ , les équations de Lagrange deviennent alors :

$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} - \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = F_{q_i}$ où $F_{q_i}=\frac{\partial x}{\partial q_{i}}.F_{x}+\frac{\partial y}{\partial q_{i}}.F_{y}+\frac{\partial z}{\partial q_{i}}.F_{z}$