Pickin lause

Wikipedia

Jos on annettu monikulmio, jonka kärkipisteet ovat hilapisteissa, voidaan Pickin lauseen avulla (tunnetaan myös nimellä Pickin kaava) laskea monikulmion pinta-ala A, mikäli tiedetään monikulmion sisustan hilapisteiden lukumäätä i ja reunalla olevien hilapisteiden lukumäärä b. Pickin kaavan mukaan tällöin on voimassa:

A = i + ½b − 1.

Kuvassa olevassa esimerkissä on i = 39 ja b = 14, joten monikulmion ala on A = 39 + ½(14) − 1 = 39 + 7 − 1 = 45.

Huomaa, että lause on voimassa vain yhtenäisille monikulmioille, eli monikulmion on koostuttava yhdestä palasta ja siinä ei saa olla reikiä. Useamman reiän tapauksessa kaavan "−1" on korvattava termillä "−χ(P)", missä χ(P) on P:n Eulerin karakteristika

Lauseen todisti Georg Alexander Pick vuonna 1899. Lause voidaan yleistää usempaan ulottuvuuteen käyttämällä hyväksi niin sanottuja Ehrhartin polynomeja.

[muokkaa] Todistus

Tarkastellaan monikulmiota P ja kolmiota T, missä T:llä ja P:llä on yhteinen sivu. Todistetaan, että jos Pickin lauseon voimassa monikulmiolle P, on se myös voimassa monikulmiolle PT, missä PT on saatu liittämällä kolmio T monikulmioon P. Koska P:llä ja T:llä on yhteinen sivu, on kaikki tämän sivun pisteen PT:n sisäpisteitä päätepisteitä lukuun ottamalla, jotka ovat reunapisteitä. Siten jos c on P:n ja T:n yhteisten reunapisteiden lukumäärä, on

i_PT = (i_P + i_T) + (c − 2)

ja

b_PT = (b_P + b_T) − 2(c − 2) − 2.

Yllä olevasta seuraa, että

(i_P + i_T) = i_PT - (c − 2)

ja

(b_P + b_T) = b_PT + 2(c − 2) + 2.

Koska lause on voimassa sekä P:lle, että T:lle, on

A_PT = A_P + A_T

       = i_P + ½b_P − 1 + i_T + ½b_T − 1

       = (i_P + i_T) + ½(b_P + b_T) − 2

       = i_PT − (c − 2) + ½(b_PT + 2(c − 2) + 2) − 2

       = i_PT + ½b_PT − 1.

Siten jos kaava on voimassa n-kulmiolla, on se voimassa myös n + 1-kulmiolle. Vielä pitää osoittaa, että kaava on voimassa kolmioille. Tämä voidaan tehdä kolmessa osassa:

• Tarkastetaan ensiksi, että kaava on voimassa nelikulmiolle, jonka sivun ovat yhdensuuntaisia koordinaattiakselien kanssa.
• Jakamalla tämä nelikulmio lävistäjän suhteen kahtia voidaan osoittaa, että kaava on voimassa suorakulmaisille kolmioille.
• Jokainen kolmio voidaan täydentää nelikulmioksi liittämällä kolmioon korkeintaan kolme suorakulmaista kolmiota. Koska lause on voimassa kaikille kolmioille ja nelikulmioille, jonka sivut ovat koordinaattiakselien suuuntaiset, on lause voimassa myös jokaiselle kolmiolle.

Viimeisessä vaiheessa käytetään tietoa, että jos lause on voimassa monikulmiolle PT ja kolmiolla T, on se myös voimassa monikulmiolle P. Tämän osoittaminen on hyvin samantapaista kuin yllä oleva päättely.

[muokkaa] Aiheesta muualla

• Java-animaatio Pickin lauseesta Cut-the-knotissa.