Metrinen avaruus
Wikipedia
Metrinen avaruus on matematiikassa joukko, jossa voidaan määritellä pisteiden välinen etäisyys.
Sisällysluettelo |
[muokkaa] Määritelmä
Metrinen avaruus on pari (X,d), missä X on joukko ja 
kuvaus (ns. metriikka eli etäisyysfunktio), joka kaikilla x ja y joukosta X toteuttaa ehdot
- d(x,y) = 0 jos ja vain jos x = y
- d(x,y) = d(y,x)
(kolmioepäyhtälö).
Usein metriseksi avaruudeksi sanotaan vain joukkoa X.
[muokkaa] Esimerkkejä
- Mielivaltaisessa joukossa X saadaan diskreetti metriikka määrittelemällä d(x,y) = 1 jos ja vain jos x = y ja d(x,y) = 0 muutoin.
- Reaalilukujen joukossa pisteiden erotuksen itseisarvo määrittelee (ns. tavallisen reaalisen) metriikan d(x,y) = | x - y | .
[muokkaa] Määritelmiä
[muokkaa] Avoin joukko
Metrisen avaruuden (X,d) (x-keskinen, r-säteinen) avoin pallo B(x,r), missä 
ja 
, määritellään joukoksi 
, ts. niiden pisteiden joukoksi, joiden etäisyys pisteestä x on pienempi kuin r.
Avaruuden X osajoukkoa G sanotaan avoimeksi joukoksi, jos sen jokaisen pisteen ympärille voidaan piirtää avoin pallo, joka kuuluu kokonaan joukkoon G. Näin ollen jokainen metrinen avaruus on aina topologinen avaruus.
[muokkaa] Rajoitettu joukko
Metristä avaruutta (X,d) sanotaan rajoitetuksi, jos on olemassa sellainen säde r > 0, että d(x,y) < r kaikilla 
. Pienintä tällaista sädettä sanotaan avaruuden halkaisijaksi.
[muokkaa] Pisteen ja joukon etäisyys
Metrisen avaruuden pisteen x ja joukon 
etäisyys on lyhin etäisyys pisteestä x johonkin joukon A pisteeseen, ts.
.
