Eukleideen algoritmi
Wikipedia
Eukleideen algoritmin avulla löydetään kahden kokonaisluvun suurin yhteinen tekijä (s.y.t.). Algoritmi perustuu ns. jakoyhtälön perättäiseen käyttöön.
[muokkaa] Esimerkkejä
Etsitään lukujen 31 ja 56 suurin yhteinen tekijä.
Ensin jaetaan 56 31:llä: 56 = 1 * 31 + 25.
Sitten 31 25:llä: 31 = 1 * 25 + 6.
Sitten 25 6:lla: 25 = 4 * 6 + 1.
Sitten 6 1:llä: 6 = 6 * 1 + 0.
Viimeinen nollasta eroava on lukujen 31 ja 56 suurin yhteinen tekijä eli syt(31,56)=(31,56)=1. Tämä nähdään myös lukujen alkutekijähajotelmien avulla selvästi: 31 on alkuluku ja 56 = 23 * 7, joten suurin yhteinen tekijä on 1.
Kiinalaiset suorittivat saman algoritmin helmitaulussa seuraavasti:
Vähennä toistuvasti pienempää suuremmasta. Kun luvut ovat samat, algoritmi päättyy ja ko. luku on suurin yhteinen tekijä.
| 31 | 31 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | ... | 1 |
| 56 | 25 | 25 | 19 | 13 | 7 | 1 | ... | 1 |
Etsitään syt(15,25).
25 = 1 * 15 + 10.
15 = 1 * 10 + 5.
10 = 2 * 5 + 0.
eli syt(15,25) = 5.
Kiinalaisittain:
| 25 | 10 | 10 | 5 |
| 15 | 15 | 5 | 5 |
[muokkaa] Algoritmi
Olkoot luvut a ja b kokonaislukuja ja b erisuuri kuin nolla. Käyttämällä toistuvasti jakoyhtälöä, saadaan:
...
.
Algoritmi päättyy, koska luvut r0, r1, ...,rn muodostavat aidosti vähenevän jonon positiivisia kokonaislukuja.
Viimeinen jakojäännös rn jakaa (tasan) luvut a ja b:
Alimmasta yhtälöstä rn jakaa luvun rn-1.
Koska rn - 2 = qnrn - 1 + rn, niin rn jakaa luvun rn-2
Näin jatkamalla saadaan lopulta, että rn jakaa b:n ja a:n.
Jos luvuilla a ja b on yhteinen tekijä c, ts. sanoen a ja b ovat tasan jaollisia luvulla c, c jakaa luvun r0, r1, ... yllä olevien yhtälöiden nojalla. Näin siis c jakaa luvun rn, joka on siten yhteisistä tekijöistä suurin.
