Aplicación matemática
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Dados dos conjuntos: X, Y; una relación f, que determina una correspondencia matemática entre todos los elementos de X con los elementos de Y, diremos que esa relación: f, define una Aplicación matemática entre X e Y, que representaremos:
- Cuando:
- todos los elementos de X está relacionado con elementos de Y.
- cada elemento de X, esta relacionado con un único elemento de Y.
Esto es: una correspondencia matemática es una aplicación, si todos los elementos del conjunto inicial tienen una imagen y esa imagen es única.
En el diagrama se pueden ver los conjuntos X e Y:
| d | (1,d) | (2,d) | (3,d) | (4,d) |
| c | (1,c) | (2,c) | (3,c) | (4,c) |
| b | (1,b) | (2,b) | (3,b) | (4,b) |
| a | (1,a) | (2,a) | (3,a) | (4,a) |
| X×Y | 1 | 2 | 3 | 4 |
Como es puede ver a cada uno de los elemento de X le corresponde un único elemento de Y. El elemento a de Y no tiene origen y el elemento b tiene dos orígenes el 1 y el 4, pero esto no afecta a la definición de aplicación como tipo de correspondencia.
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[editar] Tipos de Aplicación matemática
Dados dos conjuntos X, Y, y todas las posibles aplicaciones que pueden formarse entre estos dos conjuntos, se pueden diferenciar los siguientes casos:
- Si a cada imagen le corresponde un único origen, inyectiva.
- Si la aplicación es sobre todo el conjunto final, sobreyectiva.
Además de estos dos casos característicos, una aplicación puede ser inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, que se denominan biyectiva, o ninguna de ellas en cuyo caso no tiene un nombre especifico.
Vamos a representar los tipos de aplicaciones en un Diagrama de Venn, el conjunto universal U, representado por un rectángulo, es el de todas las posibles aplicaciones, el conjunto A es el de las aplicaciones inyectivas, y el conjunto B el de las sobreyectivas, esto nos permite ver los distintos tipos de aplicaciones de un modo gráfico.
[editar] Aplicación inyectiva y no sobreyectiva
Una aplicación inyectiva cada elemento imagen tendrá un único orígenes y una no sobreyectiva tendrá al menos un elemento del conjunto final que no tenga elemento origen.
En el diagrama de venn corresponden a las aplicaciones que pertenecen a A y no pertenecen a B, esto es las que pertenecen a la diferencia de A y B: A-B.
En estas aplicaciones la cardinalidad de X es siempre menor que la de Y, esto es el conjunto Y tendrá mayor número de elementos que X cuando tratamos de compararlos.
[editar] Ejemplo
en el diagrama de la figura:
- todos los elementos de Y, que tienen origen, tienen un único origen, esto hace que la aplicación sea inyectiva
- el elemento d de Y, no tiene ningún origen por lo que esta aplicación no es sobreyectiva.
[editar] Aplicación no inyectiva y sobreyectiva
Una aplicación no inyectiva tiene al menos un elemento imagen que tiene dos o mas orígenes y una sobreyectiva todos los elemento del conjunto final tienen un único elemento origen.
En el diagrama de venn corresponden a las aplicaciones que no pertenecen a A y si pertenecen a B, esto es las que pertenecen a la diferencia de B y A: B-A.
Para esta aplicación el conjunto X ha de tener mayor numero de elementos que Y, la cardinalidad de X ha de ser mayor que la de Y.
[editar] Ejemplo
en el diagrama de la figura:
- el elemento c de Y, tiene dos orígenes: el 3 y el 4, por lo que esta aplicación no es inyectiva.
- todos los elementos de Y, tienen origen, esto hace que la aplicación sea sobreyectiva.
[editar] Aplicación inyectiva y sobreyectiva
Si una aplicación es inyectiva y sobreyectiva, simultáneamente se denomina: biyectiva, Por ser inyectiva los elementos que tienen origen tienen un único origen y por ser sobreyectiva todos los elementos del conjunto final tienen origen.
En el diagrama de venn el conjunto A es el de las aplicaciones inyectiva y el conjunto B el de las aplicaciones sobreyectiva, las aplicaciones biyectiva, que son inyectiva y sobreyectiva, será la intersección de A y B.
Estas dos circunstancias dan lugar a que el conjunto X e Y tengan el mismo numero de elementos, la cardinalidad de X es la misma que la de Y, esto tiene una gran importancia cuando se pretende comparar dos conjuntos:
- Si dados dos conjuntos podemos encontrar una aplicación biyectiva entre ellos, podemos afirmar, que los dos conjuntos tienen el mismo numero de elementos. La cardinalidad de X es igual a la de Y.
[editar] Ejemplo
en el diagrama de la figura:
- todos los elementos de Y, que tienen origen, tienen un único origen, esto hace que la aplicación sea inyectiva
- todos los elementos de Y, tienen origen, esto hace que la aplicación sea sobreyectiva.
Si tomaremos por conjunto inicial el conjunto de los números naturales:
y por conjunto final el de los números naturales pares:
Podemos ver que la relación
Por el que a cada numero natural x de X, le asociamos un numero par 2x de Y, se cumple:
- f: es una aplicación, dado que a cada uno de los valores x de X le corresponde un único valor 2x de Y.
- esta aplicación es inyectiva dado que a cada numero par 2x de Y le corresponde un único valor x de X.
- y es sobreyectiva porque todos los números pares tienen un origen
Esto nos permite afirmar que hay el mismo numero de números naturales que de números naturales pares, se da la paradoja de que los números naturales pares en un subconjunto propio de los números naturales, esta circunstancia solo se da con los conjuntos infinitos.
[editar] Aplicación no inyectiva y no sobreyectiva
Una aplicación no inyectiva tendrá al menos un elemento imagen que tenga dos o más orígenes y una no sobreyectiva tendrá al menos un elemento del conjunto final que no tenga elemento origen. Este tipo de aplicaciones no tiene un nombre especifico y quizá sean las que presenten, desde el punto de vista matemático, un menor interés.
Para esta aplicación los conjuntos X e Y no son comparables, y no podemos plantear ningún supuesto sobre su cardinalidad, partiendo de su comparación, ni sobre su número de elementos.
En el diagrama de venn corresponden a las aplicaciones que no pertenecen a A y no pertenecen a B, esto es las que no pertenecen a la unión de A y B.
[editar] Ejemplo
en el diagrama de la figura:
- el elemento b de Y, tiene dos orígenes: 1 y 2, esto hace que esta aplicación no sea inyectiva
- el elemento a de Y, no tiene ningún origen por lo que esta aplicación no es sobreyectiva
[editar] Véase también
- Relación matemática
- Relación binaria
- Correspondencia matemática
- Sucesión matemática
- Función matemática
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