Vikipedio:Projekto matematiko/Verda teoremo

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Verda teoremo
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En fiziko kaj matematiko, Verda teoremo donas la interrilato inter linia integralo ĉirkaŭ simpla (fermita, fermis) kurbo C kaj dulita integralo super la ebena regiono D barita per C. Verda teoremo estis nomita post Brita sciencista Georgo Verda kaj estas speciala okazo de la pli ĝenerala Hejtas' teoremo.

La teoremo (propozicio, frazo, ordono) estas jeno. Estu C esti dekstruma, popeca glata, simpla (fermita, fermis) kurbo en la ebeno kaj estu D esti la regiono barita per C. Se L kaj M havi kontinuaj partaj derivaĵoj sur (malfermi, malfermita) regiono enhavanta D, tiam

$\int_{C} L\, dx + M\, dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA.$

Iam malgranda cirklo estas lokita supre sur la integrala simbolo:

$\oint_{C}$

Ĉi tiu indikas (tiu, ke, kiu) la kurbo C estas (fermita, fermis). Al indiki pozitiva orientiĝo, sago (poentanta, akraĵanta, kulminanta, punktanta) en la nombrilo-laŭhorloĝnadla direkto estas iam desegnita en la cirklo super la integrala simbolo.

[redaktu] Pruvo de Verda teoremo kiam D estas simpla regiono

Se D estas la simpla regiono tiel ke x ∈ [a, b] kaj g1(x) < y < g2(x) kaj la rando de D estas (dividita, dividis) enen la kurboj C1, C2, C3, C4, ni povas demonstracii Verda teoremo.

Se D estas la simpla regiono tiel ke x ∈ [a, b] kaj g₁(x) < y < g₂(x) kaj la rando de D estas (dividita, dividis) enen la kurboj C₁, C₂, C₃, C₄, ni povas demonstracii Verda teoremo.

Se ĝi povas esti montrita (tiu, ke, kiu) se

$\int_{C} L\, dx = \iint_{D} \left(- \frac{\partial L}{\partial y}\right) dA\qquad\mathrm{(1)}$

kaj

$\int_{C} M\, dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x}\right)\, dA\qquad\mathrm{(2)}$

estas vera, tiam Verda teoremo estas pruvita.

Ni difini regiono D tio estas simpla sufiĉa por nia (celoj, celas). Se regiono D estas esprimita tia (tiu, ke, kiu):

$D = \{(x,y)|a\le x\le b, g_1(x) \le y \le g_2(x)\}$

kie g₁ kaj g₂ estas kontinuaj funkcioj, la dulita integralo en (1) povas esti komputita:

$\iint_{D} \left(\frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA$	$=\int_a^b\!\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \left[\frac{\partial L}{\partial y} (x,y)\, dy\, dx \right]$
	$= \int_a^b \Big\{L[x,g_2(x)] - L[x,g_1(x)] \Big\} \, dx\qquad\mathrm{(3)}$

Nun C povas esti reskribita kiel la unio de kvar kurboj: C₁, C₂, C₃, C₄.

Kun C₁, uzi la parametraj ekvacioj, x = x, y = g₁(x), a ≤ x ≤ b. Pro tio:

$\int_{C_1} L(x,y)\, dx = \int_a^b \Big\{L[x,g_1(x)]\Big\}\, dx$

Kun −C₃, uzi la parametraj ekvacioj, x = x, y = g₂(x), a ≤ x ≤ b. Tiam:

$\int_{C_3} L(x,y)\, dx = -\int_{-C_3} L(x,y)\, dx = - \int_a^b [L(x,g_2(x))]\, dx$

Sur C₂ kaj C₄, x restas konstanto, signifo

$\int_{C_4} L(x,y)\, dx = \int_{C_2} L(x,y)\, dx = 0$

Pro tio,

$\int_{C} L\, dx$	$= \int_{C_1} L(x,y)\, dx + \int_{C_2} L(x,y)\, dx + \int_{C_3} L(x,y) + \int_{C_4} L(x,y)\, dx$
	$= -\int_a^b [L(x,g_2(x))]\, dx + \int_a^b [L(x,g_1(x))]\, dx\qquad\mathrm{(4)}$