Vikipedio:Projekto matematiko/Trajektorio

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Trajektorio
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

trajektorio estas (imagita, imaga) spuro de (pozicioj, pozicias) sekvita per objekto movanta tra spaco. Iu komuna (ekzemploj, ekzemplas) de (trajektorioj, trajektorias): (mi) la vojo prenita per falanta korpo, kaj (ii) la orbito de kosma flugaparato. Aparta trajektorio (majo, povas) esti priskribita matematike ĉu per la geometrio de la tuta trajektorio (kio estas la aro de ĉiuj (pozicioj, pozicias) prenita per la objekto), aŭ kiel la pozicio de la objekto kiel funkcio de tempo.

Familiara ekzemplo estas pafaĵo lanĉis sub la influi de nur uniforma gravita forta kampo. Roko _thrown_ sur la praktike _airless_ surfaco de la Luno estas bona proksimuma kalkulado. En ĉi tiu (kesto, okazo), la trajektorio prenas la formo de parabolo, provizis la roko estas ne _thrown_ ankaŭ malproksime. Pli ĝenerale, la preciza trajektorio de pafaĵo postulas prenante enen (konto, kalkulo) _nonuniform_ gravita (fortoj, fortas) kaj alia (fortoj, fortas) kiel treni kaj (vento, bobeni). Ĉi tiu estas la fokuso de la disciplino de balistiko. Pafaĵo, kiel basbalo, kiam _thrown_ tra la aero, estas influita per ambaŭ gravito kaj aerodinamiko.

Pli ĝenerale, trajektorio (ligas, referas) al la orda aro de interaj ŝtatoj alprenis per dinamika sistemo sekve de tempa evoluismo.

En diskreta matematiko, la (termo, membro, flanko, termino) trajektorio signifas la vico $(f^k(x))_{k \in \mathbb{N}}$ de (valoroj, valoras) kiu prenas per ripetis apliko de surĵeto $f$ al ero $x$ de ĝia fonto.

La vorta trajektorio estas ankaŭ ofte uzita _metaphorically_, ekzemple, al priskribi individua kariero.

[redaktu] Fiziko de (trajektorioj, trajektorias)

Unu de la rimarkindaj atingoj de Newton-a mekaniko estis la derivaĵo de la leĝoj de Keplero, ĉe la gravita kampo de sola punkta maso ((figuranta, prezentanta) la Suno). La trajektorio estas koniko, ŝati elipso aŭ parabolo. Ĉi tiu (kongruas, konsentas) kun la observis (orbitoj, orbitas) de (planedoj, planedas) kaj (kometoj, kometas), al laŭkaŭze bona proksimuma kalkulado. Kvankam se kometaj pasejoj proksime al la Suno, tiam ĝi estas ankaŭ influis per alia (fortoj, fortas), kiel la suna (vento, bobeni) kaj radiada premo, kiu (modifi, aliigi) la orbito, kaj kaŭzo la kometo al _eject_ materialo enen spaco.

Neŭtona teorio poste ellaborita enen la branĉo de teoria fiziko sciata kiel klasika mekaniko. Ĝi dungas la matematiko de diferenciala kalkulo (kiu estis, fakte, ankaŭ iniciatis per Neŭtono, en lia junaĝo). Super la (jarcentoj, jarcentas), nenombrebla (sciencistoj, sciencistas) (kotizita, kontribuita) al la evoluo de ĉi tiuj du disciplinoj. Klasika mekaniko iĝis plej elstara manifestacio de la povo de (racionala, racionalo) penso, kio estas kaŭzo, en scienco kaj ankaŭ teknologio. Ĝi helpas al kompreni kaj aŭguri enorma limigo de fenomenoj. (Trajektorioj, Trajektorias) estas sed unu ekzemplo.

Konsideri partiklo de (maso, amaso) $m$ , movanta en potenciala kampo $V$ . Fizike parolanta, (maso, amaso) prezentas inercio, kaj la kampo $V$ prezentas ekstera (fortoj, fortas), de aparta speco sciata kiel "(konservativulo, konservativa)". Tio estas, donita $V$ je ĉiu taŭga pozicio, estas vojo al konkludi la asociita forto (tiu, ke, kiu) devus (ago, agi, operacii, akto) je (tiu, ke, kiu) pozicio, diri de gravito. Ne ĉiuj (fortoj, fortas) povas esti esprimita en tiamaniere, tamen.

La moviĝo de la partiklo estas priskribita per la (sekundo, dua)-(mendi, ordo) diferenciala ekvacio

$m \frac{d^2 \vec{x}(t)}{dt^2} = -\nabla V(\vec{x}(t))$ kun $\vec{x} = (x, y, z)$

Dekstre-mana flanko, la forto estas donita en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de $\nabla V$ , la gradiento de la potencialo, prenita je (pozicioj, pozicias) laŭ la trajektorio. Ĉi tiu estas la matematika (formo, formi) de Neŭtona (sekundo, dua) leĝo de moviĝo: (maso, amaso) (tempoj, tempas) akcelo egalas forto, por tia (situacioj, situacias).

[redaktu] (Ekzemploj, Ekzemplas)

[redaktu] Uniforma gravito, ne treni aŭ (vento, bobeni)

La (kesto, okazo) de uniforma gravito, malobservanta treni kaj (vento, bobeni), rendimenta trajektorio kiu estas parabolo. Al modelo ĉi tiu, unu elektas $V = m g z$ , kie $g$ (_gee_) estas la akcelo de gravito. Ĉi tiu donas la ekvacioj de moviĝo

$\frac{d^2 x}{dt^2} = \frac{d^2 y}{dt^2} = 0$

$\frac{d^2 z}{dt^2} = - g$

(Plisimpligoj, Plisimpligas) estas farita por la sakeo de studanta la _basics_. La reala situacio, almenaŭ sur la surfaco de Tero, estas konsiderinde pli komplika ol ĉi tiu ekzemplo devus (pensigi, sugesti), kiam ĝi venas al komputanta reala (trajektorioj, trajektorias). Per intence prezentanta tia (plisimpligoj, plisimpligas), enen la studi de la donita situacio, unu faras, fakte, (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo) la problemo kvazaŭ (tiu, ke, kiu) havas (pruvita, pruvis) eksterordinare utila en fiziko.

La (prezenti, aktuala) ekzemplo estas unu de tiuj originale esploris per Galilejo. Al (malzorgi, neglekti) la ago de la (atmosfero, etoso), en formanta trajektorio, devus (je plej bona) havi estas (konsiderita, konsideris) vana hipotezo per praktika (mensis, kapita, psikita) esploristoj, ĉiuj tra la Mezepoko en Eŭropo. Tamen, per anticipanta la ekzisto de la vakuo, poste al esti demonstraciita sur Tero per lia _collaborator_ Evangelista Torricelli, Galileo-a estis pova iniciati la estonta scienco de mekaniko. Kaj en proksima vakuo, kiel ĝi (kurbiĝoj, kurbiĝas, turnas, tornas, kurbigas) ekster ekzemple sur la Luno, lia (simpligis, plisimpligita) parabola trajektorio (demonstras, pruvas) esence (ĝusta, ĝustigi, korekti).

Relativa al (plata, apartamento) tereno, estu la komenca horizontala rapido esti $v h$ , kaj la komenca vertikala rapido esti $v v$ . Ĝi estos esti montrita (tiu, ke, kiu), la limigo estas $2 v h v v / g$ , kaj la maksimumo (alto, alteco) estas ${v_v^2}/2g$ . La maksimuma limigo, por donita tuteca komenca rapido $v$ , estas ricevita kiam $v h = v v$ , kio estas la komenca angulo estas 45 (gradoj, gradas). Ĉi tiu limigo estas $v 2 / g$ , kaj la maksimumo (alto, alteco) je la maksimuma limigo estas kvartalo de (tiu, ke, kiu).

[redaktu] Derivaĵo

La ekvacioj de moviĝo (majo, povas) kutimi kalkuli la (karakterizoj, karakterizas) de la trajektorio.

Estu

$p(t)\;$ esti la pozicio de la pafaĵo, esprimita kiel vektoro

$t\;$ esti la tempo enen la fuĝo de la pafaĵo,

$v_h \;$ esti komenca la horizontala rapido (kiu estas konstanto)

$v_v \;$ esti la komenca vertikala rapido supren.

La vojo de la pafaĵo estas sciata al esti parabolo (do, tiel)

$p(t) = ( A t, 0 , a t^2 + b t + c )\,$

kie $A,\,a,\,b,\,c$ estas (parametroj, parametras) al troviĝi. La unua kaj (sekundo, dua) derivaĵoj de $p$ estas:

$p'(t) = ( A , 0 , 2 a t + b ),\quad p''(t) = ( 0 , 0 , 2 a ).$

Je $t = 0$

$p(0)=0,\ p'(0)=(v_h,0,v_v),\ p''(0)=(0,0,-g)$

(do, tiel) $A = v_h,\ a = -g/2,\ b = v_v,\ c = 0$ . Donanta _eqn_ de parabolo kiel

$p(t) = (v_h t,0,v_v t - g t^2/2)\,\qquad$ (Ekvacio Mi: trajektorio de parabolo).

[redaktu] Limigo kaj alto

La limigo $R$ de la pafaĵo estas fundamenti kiam la $z$ -komponanto de $p$ estas nulo, tio estas kiam

$0 = v_v t - g t^2/2 = t \left( v_v - g t/2\right)\,$

kiu havas solvaĵoj je $t = 0$ kaj $t = 2 v v / g$ (la pendi-tempo de la pafaĵo). La limigo estas tiam $R = 2 v_h v_v/g.\,$

De la simetrio de la parabolo la maksimuma alto okazas je la _halfway_ punkto $t = v v / g$ je pozicio

$p(v_v/g)=(v_h v_v/g,0,v_v^2/(2g))\,$

Ĉi tiu povas ankaŭ esti derivita per trovanta kiam la $z$ -komponanto de $p'$ estas nulo.

[redaktu] Angulo de _elevation_

En (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de angulo de _elevation_ $θ$ kaj komenca rapido $v$ :

$v_h=v \cos \theta,\quad v_v=v \sin \theta \;$

donanta la limigo kiel

$R= 2 v^2 \cos(\theta) \sin(\theta) / g = v^2 \sin(2\theta) / g\,.$

Ĉi tiu ekvacio povas esti reordigita al trovi la angulo por postulis limigo

${ \theta } = \frac 1 2 \sin^{-1} \left( { {g R} \over { v^2 } } \right)$ (Ekvacio II: angulo de pafaĵo lanĉi)

(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) la sinusa funkcio estas tia (tiu, ke, kiu) estas du solvaĵoj por $θ$ por donita limigo $d h$ . Fizike, ĉi tiu korespondas al direkto (pafo, kuglo) kontraŭ (bombopafilo, bombokanono) (pafo, kuglo) supren kaj super (obstakloj, obstaklas) al la (celtabulo, celo).

La angulo $θ$ donanta la maksimuma limigo povas troviĝi per konsideranta la derivaĵo aŭ $R$ kun respekto al $θ$ kaj opcia ĝi al nulo.

${dR\over d\theta}={2v^2\over g} cos(2\theta)=0$

kiu havas ne bagatelaj solvaĵoj je $\theta=\pi/2=45^\circ$ . La maksimuma limigo estas tiam $R_{max} = v^2/g\,$ . Je ĉi tiu angulo $sin(\pi/2)=1/\sqrt{2}$ (do, tiel) la maksimuma alto ricevis estas ${v^2 \over 4g}$ .

Al trovi la angulo donanta la maksimuma alto por donita rapido kalkuli la derivaĵo de la maksimuma alto $H = v s i n (θ) / (2 g)$ kun respekto al $θ$ , tio estas ${dH\over d\theta}=v cos(\theta) /(2g)$ kiu estas nulo kiam $\theta=\pi=90^\circ$ . (Do, Tiel) la maksimuma alto $H_{max}={v\over 2g}$ estas ricevi kiam la pafaĵo estas (fajrita, abiita) (streĉita, rekta) supren.

[redaktu] Supren/montsuben en uniforma gravito en vakuo

Donita monteta angulo $α$ kaj lanĉi angulo $θ$ kiel antaŭ, ĝi povas esti montrita (tiu, ke, kiu) la limigo laŭ la monteto $R s$ (formoj, formas) rilatumo kun la originala limigo $R$ laŭ la imaginara horizontalo, tia (tiu, ke, kiu):

$\frac{R_s} {R}=(1-\cot \theta \tan \alpha)\sec \alpha$ (Ekvacio 11)

En ĉi tiu ekvacio, montsuben okazas kiam $α$ estas inter 0 kaj -90 (gradoj, gradas). Por ĉi tiu limigo de $α$ ni scii: $tan( - α) = - tanα$ kaj $sec( - α) = secα$ . Tial por ĉi tiu limigo de $α$ , $R s / R = (1 + tanθtanα)secα$ . Tial $R s / R$ estas pozitiva valora signifo la limigo montsuben estas ĉiam plui ol laŭ nivela tereno. Ĉi tiu (konstruas, faras) perfekta (senso, senco) kiel ĝi estas atendita (tiu, ke, kiu) gravito estos asisti la pafaĵo, donanta ĝi pli granda limigo.

Dum la sama ekvacio aplikas al pafaĵoj (fajris, abiita) supren, la interpretado estas pli komplekso kiel iam la supren limigo (majo, povas) esti pli mallonga aŭ pli longa ol la ekvivalenta limigo laŭ nivela tereno. Ekvacio 11 (majo, povas) esti aro al $R s / R = 1$ (kio estas la oblikva limigo estas egala al la nivela terena limigo) kaj solvanta por la "kritika angulo" $θ c r$ :

$1=(1-\tan \theta \tan \alpha)\sec \alpha \quad \;$

$\theta_{cr}=\arctan((1-\csc \alpha)\cot \alpha) \quad \;$

Ekvacio 11 (majo, povas) ankaŭ kutimi (riveli, ellabori) la "_rifleman_'s regulo" por malgranda (valoroj, valoras) de $α$ kaj $θ$ (kio estas proksime al horizontalo (fajranta, abianta), kiu estas la (kesto, okazo) por multaj (pafilo, pulvopafilo) (situacioj, situacias)). Por malgranda (valoroj, valoras), ambaŭ $tanα$ kaj $tanθ$ havi malgranda valoro kaj tial kiam (obligis, multiplikita) kune (kiel en ekvacio 11), la rezulto estas preskaŭ nulo. Tial ekvacio 11 (majo, povas) esti aproksimita kiel:

$\frac{R_s} {R}=(1-0)\sec \alpha$

Kaj solvanta por nivela terena limigo, $R$

$R=R_s \cos \alpha \$ "_Rifleman_'s regulo"

Tial se la _shooter_ provas al (bato, furorkanto, klavi, furoro, modkanto, bati) la nivela distanco R, li estos reale (bato, furorkanto, klavi, furoro, modkanto, bati) la oblikvo (celtabulo, celo). "En alia (vortoj, vortas), (ŝajnigi, simuli) (tiu, ke, kiu) la inklina (celtabulo, celo) estas je horizontala distanco egala al la oblikva limiga distanco (obligis, multiplikita) per la kosinuso de la inklinacia angulo, kaj celi kvazaŭ la (celtabulo, celo) estis (reale, reele) je (tiu, ke, kiu) horizontala pozicio."[1]

[redaktu] Derivaĵo bazita sur ekvacioj de parabolo

La sekci de la pafaĵa trajektorio kun monteto (majo, povas) plej facile esti derivita uzanta la trajektorio en parabola (formo, formi) en Karteziaj koordinatoj (Ekvacio 10) sekcanta la monteto de inklino $m$ en normo lineara (formo, formi) je (koordinatoj, koordinatas) $(x, y)$ :

$y=mx+b \;$ (Ekvacio 12) kie en ĉi tiu (kesto, okazo),

y = d v

x = d h

kaj

b = 0

Anstataŭiganta la valoro de $d v = m d h$ enen Ekvacio 10:

$m x=-\frac{g}{2v^2{\cos}^2 \theta}x^2 + \frac{\sin \theta}{\cos \theta} x$

$x=\frac{2v^2\cos^2\theta}{g}\left(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}-m\right)$ (Solvanta pli supre x)

Ĉi tiu valoro de x (majo, povas) esti anstataŭigita dorso enen la lineara ekvacio 12 al preni la (korespondanta, respektiva) y koordinato je la detranĉi:

$y=mx=m \frac{2v^2\cos^2\theta}{g} \left(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}-m\right)$

Nun la oblikva limigo $R s$ estas la distanco de la detranĉi de la fonto, kiu estas (justa, ĵus) la _hypoteneuse_ de x kaj y:

$R_s=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\left(\frac{2v^2\cos^2\theta}{g}\left(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}-m\right)\right)^2+\left(m \frac{2v^2\cos^2\theta}{g} \left(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}-m\right)\right)^2}$

$=\frac{2v^2\cos^2\theta}{g} \sqrt{\left(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}-m\right)^2+m^2 \left(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}-m\right)^2}$

$=\frac{2v^2\cos^2\theta}{g} \left(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}-m\right) \sqrt{1+m^2}$

Nun $α$ estas difinita kiel la angulo de la monteto, (do, tiel) per difino de tangento, $m = tanα$ . Ĉi tiu povas esti anstataŭigita enen la ekvacio por $R s$ :

$R_s=\frac{2v^2\cos^2\theta}{g} \left(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}-\tan \alpha\right) \sqrt{1+\tan^2 \alpha}$

Nun ĉi tiu povas esti _refactored_ kaj la trigonometria idento por $\sec \alpha = \sqrt {1 + \tan^2 \alpha}$ (majo, povas) esti uzita:

$R_s=\frac{2v^2\cos\theta\sin\theta}{g}\left(1-\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\tan\alpha\right)\sec\alpha$

Nun la (plata, apartamento) limigo $R = v 2 sin2θ / g = 2 v 2 sinθcosθ / g$ per la antaŭe uzita trigonometria idento kaj $sinθ / cosθ = t a n θ$ (do, tiel):

$R_s=R(1-\tan\theta\tan\alpha)\sec\alpha \;$

$\frac{R_s}{R}=(1-\tan\theta\tan\alpha)\sec\alpha$

[redaktu] Orbitanta (objektoj, objektas)

Se anstataŭ uniformo suben gravita forto ni konsideri du korpoj orbitanta kun la _mutal_ _graitation_ inter ilin, ni ricevi Leĝoj de Kepler. La derivaĵo de ĉi tiuj estis unu de la majoro (laboroj, laboras) de Neŭtono kaj provizis multa de la motivado por la evoluo de diferenciala kalkulo.

[redaktu] Vidi ankaŭ

Orbito
Orbito (dinamiko)
Orbito (grupa teorio)
Ekvacio de delokigo
Solido

Elŝutita el "http://eo.wikipedia.org../../../p/r/o/Vikipedio%7EProjekto_matematiko_Trajektorio_6d82.html"

Kategorioj: Artikoloj por polurado kaj movo | Balistiko | Mekaniko