Vikipedio:Projekto matematiko/Topologia vektora spaco

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al Topologia vektora spaco (eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko topologia vektora spaco estas unu de la baza (strukturoj, strukturas) esplorita en funkcionala analitiko. Kiel la nomo (pensigas, sugestas) la spaco miksas topologia strukturo (uniforma strukturo al esti preciza) kun la algebra koncepto de vektora spaco.

La eroj de topologiaj vektoraj spacoj estas tipe funkcioj, kaj la topologio estas ofte difinita (do, tiel) rilate (enkapti, kapto) aparta nocio de konverĝo de (vicoj, vicas) de funkcioj.

Hilbertaj spacoj kaj Banaĥaj spacoj estas famekonata (ekzemploj, ekzemplas).

Enhavo 1 Difino 2 (Ekzemploj, Ekzemplas) 2.1 (Produkto, Produto) vektoraj spacoj 3 Topologia strukturo 4 (Klavas, Tipoj) de topologiaj vektoraj spacoj 5 Dualo 6 Referencoj

[redaktu] Difino

topologia vektora spaco X estas vektora spaco super topologia kampo K (plej ofte la (reala, reela) aŭ kompleksaj nombroj kun ilia normo (topologioj, topologias)) kiu estas dotita kun topologio tia (tiu, ke, kiu) vektora aldono X × X → X kaj skalara multipliko K × X → X estas kontinuaj funkcioj.

N.b. Kvankam ni ne fari (do, tiel) ĉi tie, iu (aŭtoroj, aŭtoras) postuli la topologio sur X al esti Hausdorff-a.

[redaktu] (Ekzemploj, Ekzemplas)

Ĉiuj normigitaj vektoraj spacoj (kaj pro tiaj ĉiuj Banaĥaj spacoj kaj Hilbertaj spacoj) estas (ekzemploj, ekzemplas) de topologiaj vektoraj spacoj.

[redaktu] (Produkto, Produto) vektoraj spacoj

Kartezia produto de familio de topologiaj vektoraj spacoj, kiam dotis kun la (produkto, produto) topologio estas topologia vektora spaco. Ekzemple, la aro X de ĉiuj funkcioj f : R → R. X povas esti (identigita, identigita) kun la (produkto, produto) spaco R^R kaj (portoj, portas) natura (produkto, produto) topologio. Kun ĉi tiu topologio, X iĝas topologia vektora spaco, (nomita, vokis) la spaco de punktlarĝa konverĝo. La kaŭzo por ĉi tiu nomo estas jeno: se (f_n) estas vico de eroj en X, tiam f_n havas limigo f en X se kaj nur se f_n(x) havas limigo f(x) por ĉiu reela nombro x. Ĉi tiu spaco estas plenumi, sed ne _normable_.

[redaktu] Topologia strukturo

Vektora spaco estas komuta grupo kun respekto al la operacio de aldono, kaj en topologia vektora spaco la inversa operacio estas ĉiam kontinua (ekde ĝi estas la sama kiel multipliko per −1). De ĉi tie, ĉiu topologia vektora spaco estas abela topologia grupo.

En aparta, topologiaj vektoraj spacoj estas uniformaj spacoj kaj unu povas tial (konversacii, konversacio, prelego) pri pleneco, uniforma konverĝo kaj uniforma kontunueco. La vektora spaco (operacioj, operacias) de aldono kaj skalara multipliko estas reale unuforme kontinua. Pro ĉi tiu, ĉiu topologia vektora spaco povas esti (plenumita, plenumis) kaj estas tial densa lineara subspaco de plenumi topologia vektora spaco.

Vektora aldono kaj skalara multipliko estas ne nur kontinua sed (ebena, para, eĉ) homeomorfia kiu (meznombroj, meznombras, signifas) ni povas konstrui bazo por la topologio kaj tial rekonstrui la tuta topologio de la spaco de (ĉiu, iu) loka bazo ĉirkaŭ la fonto.

Ĉiu topologia vektora spaco havas loka bazo de (absorbanta, kaperanta, sorbanta) kaj (balancita, bilancis, balancita) aroj.

Se topologia vektora spaco estas duone-_metrisable_, tio estas la topologio povas esti donita per duone-metriko, tiam la duone-metriko devas esti traduka invarianto.

Lineara funkcio inter du topologiaj vektoraj spacoj kiu estas kontinua je unu punkto estas kontinua entute domajno.

Lineara funkcionalo f sur topologia vektora spaco X estas kontinua se kaj nur se kerno(f) estas (fermita, fermis) en X.

Se vektora spaco estas finia dimensia, tiam estas unika Hausdorff-a topologio sur ĝi. Tial (ĉiu, iu) finia dimensia topologia vektora spaco estas izomorfia al Kⁿ. Hausdorff-a topologia vektora spaco estas finidimensia se kaj nur se ĝi estas loke kompakta. Ĉi tie izomorfio (meznombroj, meznombras, signifas) (tiu, ke, kiu) tie ekzistas lineara homeomorfio inter la du (spacoj, kosmoj, spacetoj).

[redaktu] (Klavas, Tipoj) de topologiaj vektoraj spacoj

Dependanta sur la apliko ni kutime _enforce_ aldona (limigoj, limigas) sur la topologia strukturo de la spaco. Pli sube estas iuj komunaj topologiaj vektoraj spacoj, malglate (mendita, ordita) per ilia _niceness_.

• Loke konveksaj topologiaj vektoraj spacoj: ĉi tie ĉiu punkto havas loka bazo konsistanta de konveksaj aroj. Per tekniko sciata kiel Funkcionalo de Minkowskas ĝi povas esti montrita (tiu, ke, kiu) spaco estas loke konveksa se kaj nur se ĝia topologio povas esti difinita per familio de (duonnormoj, duonnormas). Loka _convexity_ estas la minimuma bezono por "geometria" (argumentoj, argumentas).
• (Bareletita, Barelita) (spacoj, kosmoj, spacetoj): loke konveksa (spacoj, kosmoj, spacetoj) kie la Banaĥo-_Steinhaus_ teoremo tenas.
• _Montel_ spaco: (bareletis, barelita) spaco kie ĉiu (fermita, fermis) kaj barita aro estas kompakta
• _Bornological_ spaco: loke konveksa spaco kie la kontinuaj linearaj operatoroj al (ĉiu, iu) loke konveksa spaco estas akurate la baritaj linearaj operatoroj.
• (F-spacoj, F-spacas) estas plenumi topologiaj vektoraj spacoj kun traduko-invarianta metriko. Ĉi tiuj inkluzivi L^p (spacoj, kosmoj, spacetoj) por ĉiuj p > 0.
• Fréchet-a (spacoj, kosmoj, spacetoj): ĉi tiuj estas plenumi loke konveksa (spacoj, kosmoj, spacetoj) kie la topologio venas de traduko-invarianta metriko, aŭ ekvivalente: de numerebla familio de (duonnormoj, duonnormas). Multaj (interezanta, interesanta) (spacoj, kosmoj, spacetoj) de funkcioj fali enen ĉi tiu klaso. Loke konveksa F-spaco estas Spaco de Fréchet.
• Nukleaj spacoj: speco de Spaco de Fréchet kie ĉiu barita mapo de la nuklea spaco al ajna Banaĥa spaco estas nuklea operatoro.
• (Normohavaj spacoj, Normitaj spacoj) kaj duonnormis (spacoj, kosmoj, spacetoj): loke konveksa (spacoj, kosmoj, spacetoj) kie la topologio povas esti priskribita per sola normo aŭ duonnormo. En (normohavaj spacoj, normitaj spacoj) lineara operatoro estas kontinua se kaj nur se ĝi estas barita.
• Banaĥaj spacoj: Plenumi normigitaj vektoraj spacoj. La plejparto de funkcionala analitiko estas formulita por Banaĥaj spacoj.
• Refleksivaj Banaĥaj spacoj: Banaĥaj spacoj (naive, krude, nature) izomorfia al ilia (dudualo, duobla dualo) (vidi pli sube), kiu certiĝas (tiu, ke, kiu) iu geometria (argumentoj, argumentas) povas esti portita ekster. Grava ekzemplo kiu estas ne refleksiva estas L¹, kies duala estas L^∞ sed estas severe enhavita en la duala de L^∞.
• Hilbertaj spacoj: ĉi tiuj havi ena (produkto, produto); (ebena, para, eĉ) kvankam ĉi tiuj (spacoj, kosmoj, spacetoj) (majo, povas) esti malfinio dimensia, plej geometria (racianta, rezonanta, kaŭzanta) familiara de finia (dimensioj, dimensias) povas esti portita ekster en ilin.
• Eŭklidaj spacoj: ĉi tiuj estas finia _dimesional_ Hilbertaj spacoj. Laŭ pli supre (komentoj, komentas), (ĉiu, iu) loke kompakta Hausdorff-a _TVS_ estas izomorfia (kiel topologia vektora spaco) al unu Eŭklida spaco.

[redaktu] Dualo

Ĉiu topologia vektora spaco havas kontinua dualo—la aro V^* de ĉiuj kontinuaj linearaj funkcionaloj, kio estas kontinuaj linearaj surĵetoj de la spaco enen la baza kampo K. Topologio sur la duala povas esti difinita al esti la _coarsest_ topologio tia (tiu, ke, kiu) la duala (parado, paranta) V^* × V → K estas kontinua. Ĉi tiu (kurbiĝoj, kurbiĝas, turnas, tornas, kurbigas) la duala enen loke konveksa topologia vektora spaco. Ĉi tiu topologio estas (nomita, vokis) la malforta-* topologio. Ĉi tiu (majo, povas) ne esti la nur natura topologio sur la dualo; ekzemple, la duala de Banaĥa spaco havas natura normo difinis sur ĝi. Tamen, ĝi estas tre grava en aplikoj pro ĝiaj kompaktecaj propraĵoj (vidi Banaĥo-_Alaoglu_ teoremo).

[redaktu] Referencoj

• _Grothendieck_: Topologiaj vektoraj spacoj, _Gordon_ kaj Breĉa Scienco (Eldonejoj, Eldonejas), (Nov-Jorkio, Novjorko), 1973.
• G _Köthe_: Topologiaj vektoraj spacoj. _Grundlehren_ _der_ _mathematischen_ _Wissenschaften_, Bando 159, _Springer_-_Verlag_, (Nov-Jorkio, Novjorko), 1969.
• H H _Schaefer_: Topologiaj vektoraj spacoj, _Springer_-_Verlag_, (Nov-Jorkio, Novjorko), 1971.
• F _Trèves_: Topologia Vektoro (Spacoj, Kosmoj, Spacetoj), Distribuoj, kaj (Kernoj, Kernas), Akademia Premi, 1967.