Vikipedio:Projekto matematiko/Spektra teoremo

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Spektra teoremo
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, aparte lineara algebro kaj funkcionala analitiko, la spektra teoremo estas (ĉiu, iu) de nombro de rezultoj pri linearaj operatoroj aŭ pri matricoj. En larĝa (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) la spektra teoremo provizas kondiĉoj sub kiu operatoro aŭ matrico povas esti _diagonalized_ (tio estas, (prezentita, prezentis) kiel diagonala matrico en iu bazo). Ĉi tiu koncepto de diagonaligo estas relative simpla por (operatoroj, operatoras) sur finidimensia (spacoj, kosmoj, spacetoj), sed postulas iu ŝanĝo por (operatoroj, operatoras) sur malfinidimensia (spacoj, kosmoj, spacetoj). En ĝenerala, la spektra teoremo identigas klaso de linearaj operatoroj (tiu, ke, kiu) povas esti modelita per multiplikaj operatoroj, kiu estas kiel simpla kiel unu povas esperi al trovi. Vidi ankaŭ spektra teorio por historia perspektivo.

(Ekzemploj, Ekzemplas) de (operatoroj, operatoras) al kiu la spektra teoremo aplikas estas hermitaj operatoroj aŭ pli ĝenerale normalaj operatoroj sur Hilbertaj spacoj.

La spektra teoremo ankaŭ provizas kanona malkomponaĵo, (nomita, vokis) la spektra malkomponaĵo de la suba vektora spaco sur kiu ĝi (agoj, agas, operacias, aktoj, aktas).

En ĉi tiu artikolo ni konsideri ĉefe la plej simpla speco de spektra teoremo, (tiu, ke, kiu) por hermita operatoro sur Hilberta spaco. Tamen, kiel (tononomis, notita) pli supre, la spektra teoremo ankaŭ tenas por normalaj operatoroj sur Hilberta spaco.

Enhavo

1 Finidimensia (kesto, okazo)
2 La spektra teoremo por kompaktaj hermitaj operatoroj
3 Funkcionala analitiko
4 La spektra teoremo por ĝeneralaj hermitaj operatoroj
5 Vidi ankaŭ
6 Referenco

[redaktu] Finidimensia (kesto, okazo)

Ni komenci per konsideranta simetria operatoro A sur finidimensia (reala, reela) aŭ komplekso ena (produkto, produto) spaco V kun la normo Hermita ena (produkto, produto) en Diraka Mamzono-_ket_ (notacio, skribmaniero); la simetria kondiĉo (meznombroj, meznombras, signifas)

$\langle A x \mid y \rangle = \langle x \mid A y \rangle$

por ĉiuj x,y eroj de V. Memori (tiu, ke, kiu) ajgenvektoro de lineara operatoro A estas (ne-nulo) vektoro x tia (tiu, ke, kiu) A x = r x por iu skalaro r. La valoro r estas la (korespondanta, respektiva) ajgeno.

Teoremo. Estas ortnormala bazo de V konsistanta de (ajgenvektoroj, ajgenvektoras) de A. Ĉiu ajgeno estas (reala, reela).

Ĉi tiu rezulto estas de tia graveco en multaj (partoj, partas) de matematiko, (tiu, ke, kiu) ni provizi skizi de pruvo en la okazo se la suba kampo de (skalaroj, skalaras) estas la kompleksaj nombroj. Unua la propraĵo (tiu, ke, kiu) ĉiu (ajgenoj, ajgenas) estas (reala, reela). Ja se λ estas ajgeno de A, por la (korespondanta, respektiva) ajgenvektoro x

$\overline{\lambda} \langle \overline{x} \mid x \rangle= \langle \overline{A}\overline{x} \mid x \rangle = = \langle A \overline{x} \mid x \rangle = \langle \overline{x} \mid A x \rangle = \lambda \langle \overline{x} \mid x \rangle .$

Uzanta ĉi tie (tiu, ke, kiu) λ estas ajgeno de A de ajgenvektoro x se kaj nur se

$\overline{A} \overline{x} = \overline{\lambda}\overline{x}, \overline{(a^i_j)} = (\overline{a}^i_j) .$

Ĝi sekvas λ egalas ĝia posedi konjugita kaj estas pro tio (reala, reela).

Al pruvi la ekzisto de ajgenvektora bazo, ni uzi indukto sur la dimensio de V. Fakte ĝi sufiĉas al montri A havas almenaŭ unu ne-nula ajgenvektoro e. Por tiam ni povas konsideri la spaco K de (vektoroj, vektoras) v perpendikulara al e. Ĉi tiu estas finidimensia, kaj A havas la propraĵo (tiu, ke, kiu) ĝi (mapoj, mapas) ĉiu vektoro w en K enen K:

$\langle A w \mid e \rangle = \langle w \mid A e \rangle = \lambda \langle w \mid e \rangle = 0.$

Ankaŭ, A (konsiderita, konsideris) kiel lineara operatoro sur K estas ankaŭ simetria (do, tiel) per la indukta hipotezo ĉi tiu (kompletigas, plenumas) la pruvo.

Ĝi restas tamen al montri A havas almenaŭ unu ajgenvektoro. Ekde la tera kampo estas algebre fermita, la polinoma funkcio p(x) = _det_(A − x Mi) havas radiko r. Ĉi tiu (implicas, enhavas) la lineara operatoro A − r Mi estas ne inversigebla kaj de ĉi tie (mapoj, mapas) ne-nula vektoro e al 0. Ĉi tiu vektoro e estas ne-nula ajgenvektoro de A. Ĉi tiu (kompletigas, plenumas) la pruvo.

La spektra teoremo estas ankaŭ vera por simetria (operatoroj, operatoras) sur finidimensia (reala, reela) ena (produkto, produto) (spacoj, kosmoj, spacetoj).

La spektra malkomponaĵo de operatoro A kiu havas ortnormala bazo de (ajgenvektoroj, ajgenvektoras), estas ricevita per grupanta kune ĉiuj (vektoroj, vektoras) (korespondanta, respektiva) al la sama ajgeno. Tial

$V_\lambda = \{\,v \in V: A v = \lambda v\,\}.$

(Tononomo, Noto, Noti): ĉi tiuj (spacoj, kosmoj, spacetoj) estas (normale, invariante, memkonjugite) difinis, tio estas ne postuli (ĉiu, iu) elekto de specifa (ajgenvektoroj, ajgenvektoras).

Kiel senpera konsekvenco de la spektra teoremo por simetria (operatoroj, operatoras) ni preni la spektra malkomponaĵa teoremo: V estas la perpendikulara direkta sumo de la (spacoj, kosmoj, spacetoj) V_λ kie la indeksaj limigoj super (ajgenoj, ajgenas). Alia ekvivalenta formulaĵo estas lasanta P_λ esti la orta projekcio sur V_λ

$P_\lambda P_\mu=0 \quad \mbox{if } \lambda \neq \mu$

kaj se λ₁,..., λ_m estas la (ajgenoj, ajgenas) de A,

$A =\lambda_1 P_{\lambda_1} +\cdots+\lambda_m P_{\lambda_m}.$

Se A estas normala operatoro sur finidimensia ena (produkto, produto) spaco, A ankaŭ havas spektra malkomponaĵo kaj la malkomponaĵa teoremo tenas por A. La (ajgenoj, ajgenas) estos esti kompleksaj nombroj en ĝenerala. La pruvo estas io pli komplika kaj estas diskutita en la _Axler_ referenco pli sube.

Ĉi tiuj rezultoj traduki (tuj, senpere) enen rezultoj pri matricoj: Por (ĉiu, iu) normala matrico A, tie ekzistas unuargumenta matrico U tia (tiu, ke, kiu)

$A=U \Lambda U^* \;$

kie Λ estas la diagonala matrico kie la elementoj estas la (ajgenoj, ajgenas) de A. Plue, (ĉiu, iu) matrico kiu _diagonalizes_ en tiamaniere devas esti normala.

La kolumnaj vektoroj de U estas la (ajgenvektoroj, ajgenvektoras) de A kaj ili estas perpendikulara.

La spektra malkomponaĵo estas speciala okazo de la Malkomponaĵo de Schur. Ĝi estas ankaŭ speciala okazo de la singulara valora malkomponaĵo.

Se A estas (reala, reela) simetria matrico, ĝi sekvas per la (reala, reela) versio de la spektra teoremo por simetria (operatoroj, operatoras) (tiu, ke, kiu) estas perpendikulara matrico tia (tiu, ke, kiu) U A U^T estas diagonalo kaj ĉiu (ajgenoj, ajgenas) de A estas (reala, reela).

[redaktu] La spektra teoremo por kompaktaj hermitaj operatoroj

En Hilbertaj spacoj en ĝenerala, la (propozicio, frazo, ordono) de la spektra teoremo por kompaktaj hermitaj operatoroj estas virtuale la sama kiel en la finidimensia (kesto, okazo).

Teoremo. Supozi A estas kompakta hermita operatoro sur Hilberta spaco V. Estas ortnormala bazo de V konsistanta de (ajgenvektoroj, ajgenvektoras) de A. Ĉiu ajgeno estas (reala, reela).

Denove la ŝlosila punkto estas al pruvi la ekzisto de almenaŭ unu nenula ajgenvektoro. Al pruvi ĉi tiu, ni ne povas fidi (determinantoj, determinantas) al montri ekzisto de (ajgenoj, ajgenas), sed anstataŭe ni uzi maksimumiga argumento analoga al pruvanta la minimum-maksimuma teoremo por (ajgenoj, ajgenas).

(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) la pli supre spektra teoremo tenas por (reala, reela) aŭ kompleksaj Hilbertaj spacoj.

[redaktu] Funkcionala analitiko

La venonta ĝeneraligo ni konsideri estas (tiu, ke, kiu) de baritaj hermitaj operatoroj A sur Hilberta spaco V. Tia (operatoroj, operatoras) (majo, povas) havi ne (ajgenoj, ajgenas): ekzemple estu A esti la operatora multipliko per t sur L²[0, 1], tio estas

$[A \varphi](t) = t \varphi(t). \;$

Teoremo. Estu A esti barita hermita operatoro sur Hilberta spaco H. Tiam estas mezurhava spaco (X, M, μ) kaj (reala, reela)-valora mezurebla funkcio f sur X kaj unuargumenta operatoro U:H → L²_μ(X) tia (tiu, ke, kiu)

$U^* T U = A \;$

kie T estas la multiplika operatoro:

$[T \varphi](x) = f(x) \varphi(x). \;$

Ĉi tiu estas la (komenco, komencanta) de la vasta esplori areo de funkcionala analitiko (nomita, vokis) operatora teorio.

Normala operatoro sur Hilberta spaco (majo, povas) havi ne (ajgenoj, ajgenas); ekzemple, la ambaŭflanka (ŝovi, ŝovo) sur la Hilberta spaco l²(Z) havas ne (ajgenoj, ajgenas). Estas ankaŭ spektra teoremo por normalaj operatoroj sur Hilbertaj spacoj, kvankam, en kiu la (sumo, sumi) en la finidimensia spektra teoremo estas (anstataŭigita, anstataŭigis) per integralo de la koordinata funkcio super la spektro kontraŭ projekcio-valora mezuro.

Kiam la normala operatoro koncerna estas kompakta, ĉi tiu spektra teoremo reduktas al la finidimensia spektra teoremo pli supre, escepti (tiu, ke, kiu) la operatoro estas esprimita kiel lineara kombinaĵo de eble malfinie multaj projekcioj.

[redaktu] La spektra teoremo por ĝeneralaj hermitaj operatoroj

Multaj gravaj linearaj operatoroj kiu okazi en analitiko, kiel diferencialaj operatoroj estas nebarita. Estas tamen spektra teoremo por hermitaj operatoroj kiu aplikas en multaj de ĉi tiuj (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas). Al doni ekzemplo, (ĉiu, iu) konstanta koeficienta diferenciala operatoro estas _unitarily_ ekvivalento al multiplika operatoro. Ja la unuargumenta operatoro kiu realigas ĉi tiu ekvivalento estas la Konverto de Fourier.

[redaktu] Vidi ankaŭ

Matrica malkomponaĵo

Jordana malkomponaĵo, "algebra" analoga al spektra malkomponaĵo.

Singulara valora malkomponaĵo, ĝeneraligo de spektra teoremo al ajnaj matricoj.

[redaktu] Referenco

_Sheldon_ _Axler_, Lineara Algebro Farita (Ĝusta, Dekstra, Rajto), _Springer_ _Verlag_, 1997

Elŝutita el "http://eo.wikipedia.org../../../p/r/o/Vikipedio%7EProjekto_matematiko_Spektra_teoremo_7d01.html"

Kategorioj: Artikoloj por polurado kaj movo | Spektra teorio | Matematikaj teoremoj

Vikipedio:Projekto matematiko/Spektra teoremo

El Vikipedio

Enhavo

[redaktu] Finidimensia (kesto, okazo)

[redaktu] La spektra teoremo por kompaktaj hermitaj operatoroj

[redaktu] Funkcionala analitiko

[redaktu] La spektra teoremo por ĝeneralaj hermitaj operatoroj

[redaktu] Vidi ankaŭ

[redaktu] Referenco

Views

Navigado

Serĉu

Aliaj lingvoj